Номер 6.12, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Простейшие логарифмические уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.12, страница 169.

6.12 a) $ \log_{16} x + \log_4 x + \log_2 x = 7; $

б) $ \log_{81} x + \log_9 x + \log_3 x = 7; $

в) $ 2 \log_2 (\log_2 x) + \log_{0.5} (\log_2 x) = 1; $

г) $ 2 \log_{0.5} (\log_2 x) + \log_2 (\log_2 x) = -1. $

а) $\log_{16} x + \log_4 x + \log_2 x = 7$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_{16} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 16} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^4} = \frac{\log_2 x}{4}$
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^2} = \frac{\log_2 x}{2}$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$\frac{\log_2 x}{4} + \frac{\log_2 x}{2} + \log_2 x = 7$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
$\frac{t}{4} + \frac{t}{2} + t = 7$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$t + 2t + 4t = 28$
$7t = 28$
$t = 4$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 4$
$x = 2^4$
$x = 16$
Корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16>0$).
Ответ: 16

б) $\log_{81} x + \log_9 x + \log_3 x = 7$
ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 3.
$\log_{81} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 81} = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^4} = \frac{\log_3 x}{4}$
$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^2} = \frac{\log_3 x}{2}$
Подставим выражения в уравнение:
$\frac{\log_3 x}{4} + \frac{\log_3 x}{2} + \log_3 x = 7$
Сделаем замену $t = \log_3 x$.
$\frac{t}{4} + \frac{t}{2} + t = 7$
$t + 2t + 4t = 28$
$7t = 28$
$t = 4$
Вернемся к замене:
$\log_3 x = 4$
$x = 3^4$
$x = 81$
Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ ($81>0$).
Ответ: 81

в) $2 \log_2 (\log_2 x) + \log_{0.5} (\log_2 x) = 1$
ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. 1. Для внутреннего логарифма: $x > 0$. 2. Для внешних логарифмов: $\log_2 x > 0$, что равносильно $x > 2^0$, то есть $x > 1$. Итоговое ОДЗ: $x > 1$.
Сделаем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$2 \log_2 t + \log_{0.5} t = 1$
Приведем $\log_{0.5} t$ к основанию 2: $0.5 = 2^{-1}$.
$\log_{0.5} t = \frac{\log_2 t}{\log_2 0.5} = \frac{\log_2 t}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 t}{-1} = -\log_2 t$
Подставим в уравнение:
$2 \log_2 t - \log_2 t = 1$
$\log_2 t = 1$
$t = 2^1 = 2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 2$
$x = 2^2 = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>1$).
Ответ: 4

г) $2 \log_{0.5} (\log_2 x) + \log_2 (\log_2 x) = -1$
ОДЗ: Аналогично пункту в), $x > 1$.
Сделаем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$2 \log_{0.5} t + \log_2 t = -1$
Приведем $\log_{0.5} t$ к основанию 2: $\log_{0.5} t = -\log_2 t$.
Подставим в уравнение:
$2(-\log_2 t) + \log_2 t = -1$
$-2 \log_2 t + \log_2 t = -1$
$-\log_2 t = -1$
$\log_2 t = 1$
$t = 2^1 = 2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 2$
$x = 2^2 = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>1$).
Ответ: 4