Номер 6.6, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.1. Простейшие показательные уравнения - номер 6.6, страница 166.

Условие.

6.6 a) $5^x - 5^{x-1} = 100;$

б) $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30;$

в) $3^{2x+1} - 9^x = 18;$

г) $4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60;$

д) $4^{x+1} + 4^{x+2} = 40;$

е) $3^{x-1} - 3^{x-2} = 36.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

$5^x - 5^{x-1} = 100$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x - 5^x \cdot 5^{-1} = 100$
$5^x(1 - 5^{-1}) = 100$
$5^x(1 - \frac{1}{5}) = 100$
$5^x \cdot \frac{4}{5} = 100$
Теперь выразим $5^x$:
$5^x = 100 \cdot \frac{5}{4}$
$5^x = 25 \cdot 5$
$5^x = 125$
Представим 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.
$5^x = 5^3$
Следовательно, $x = 3$.
Ответ: $x=3$.

б)

$9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$
Приведем все степени к одному основанию 3, используя то, что $9 = 3^2$:
$(3^2)^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$
$3^{2(x+1)} + 3^{2x+4} = 30$
$3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{2x}$:
$3^{2x} \cdot 3^2 + 3^{2x} \cdot 3^4 = 30$
$3^{2x}(3^2 + 3^4) = 30$
$3^{2x}(9 + 81) = 30$
$3^{2x} \cdot 90 = 30$
$3^{2x} = \frac{30}{90}$
$3^{2x} = \frac{1}{3}$
Представим $\frac{1}{3}$ как степень числа 3: $3^{-1}$.
$3^{2x} = 3^{-1}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x=-0.5$.

в)

$3^{2x+1} - 9^x = 18$
Приведем все степени к основанию 3, зная, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$:
$3^{2x+1} - 3^{2x} = 18$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{2x}$:
$3^{2x} \cdot 3^1 - 3^{2x} = 18$
$3^{2x}(3 - 1) = 18$
$3^{2x} \cdot 2 = 18$
$3^{2x} = \frac{18}{2}$
$3^{2x} = 9$
Представим 9 как $3^2$:
$3^{2x} = 3^2$
$2x = 2$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

г)

$4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$
Приведем все степени к основанию 2, зная, что $4 = 2^2$:
$(2^2)^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$
$2^{2(x+1)} - 2^{2x-2} = 60$
$2^{2x+2} - 2^{2x-2} = 60$
Вынесем за скобки $2^{2x}$:
$2^{2x} \cdot 2^2 - 2^{2x} \cdot 2^{-2} = 60$
$2^{2x}(2^2 - 2^{-2}) = 60$
$2^{2x}(4 - \frac{1}{4}) = 60$
$2^{2x} \cdot \frac{15}{4} = 60$
$2^{2x} = 60 \cdot \frac{4}{15}$
$2^{2x} = 4 \cdot 4 = 16$
Представим 16 как $2^4$:
$2^{2x} = 2^4$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

д)

$4^{x+1} + 4^{x+2} = 40$
Вынесем за скобки общий множитель $4^x$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x \cdot 4^2 = 40$
$4^x(4 + 16) = 40$
$4^x \cdot 20 = 40$
$4^x = \frac{40}{20}$
$4^x = 2$
Приведем левую часть к основанию 2: $(2^2)^x = 2^1$.
$2^{2x} = 2^1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $x=0.5$.

е)

$3^{x-1} - 3^{x-2} = 36$
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{x-2}$. Для этого представим $3^{x-1}$ как $3^{(x-2)+1} = 3^{x-2} \cdot 3^1$.
$3^{x-2} \cdot 3 - 3^{x-2} = 36$
$3^{x-2}(3 - 1) = 36$
$3^{x-2} \cdot 2 = 36$
$3^{x-2} = \frac{36}{2}$
$3^{x-2} = 18$
Поскольку 18 не является целой степенью числа 3, прологарифмируем обе части по основанию 3:
$\log_3(3^{x-2}) = \log_3(18)$
$x-2 = \log_3(18)$
Используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$, разложим $\log_3(18)$:
$x-2 = \log_3(9 \cdot 2) = \log_3(9) + \log_3(2)$
$x-2 = 2 + \log_3(2)$
$x = 4 + \log_3(2)$
Ответ: $x = 4 + \log_3(2)$.