Номер 5.49, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.5*. Степенные функции - номер 5.49, страница 163.

Условие.

5.49 В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = x^{\frac{3}{2}};

б) $y = x^{\frac{1}{3}}$ и $y = x^{\frac{4}{3}};

в) $y = x^{-\frac{1}{2}}$ и $y = x^{-\frac{3}{2}};

г) $y = x^{-\frac{1}{3}}$ и $y = x^{-\frac{4}{3}}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{3}{2}x^2$ в одной системе координат проанализируем их. Обе функции являются квадратичными, вида $y=ax^2$. Графиком такой функции является парабола с вершиной в начале координат (0,0), симметричная относительно оси $Oy$.

Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы и ее "ширину".

• Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$ коэффициент $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Так как $0 < |a| < 1$, график представляет собой параболу $y=x^2$, сжатую к оси $Ox$ в 2 раза (вертикальное сжатие), то есть она будет "шире" стандартной.
• Для функции $y = \frac{3}{2}x^2$ коэффициент $a = \frac{3}{2}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы также направлены вверх. Так как $|a| > 1$, график представляет собой параболу $y=x^2$, растянутую от оси $Ox$ в 1.5 раза (вертикальное растяжение), то есть она будет "уже" стандартной.

Сравнивая две функции, видим, что при любом $x \neq 0$, график $y = \frac{3}{2}x^2$ будет лежать выше графика $y = \frac{1}{2}x^2$. Для построения найдем несколько точек:

$x$	$y = \frac{1}{2}x^2$	$y = \frac{3}{2}x^2$
0	0	0
1	0.5	1.5
-1	0.5	1.5
2	2	6
-2	2	6

Ответ: Графики обеих функций — это параболы с общей вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх. Парабола $y = \frac{3}{2}x^2$ является более "узкой" (сильнее прижата к оси $Oy$) и расположена выше параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ при всех $x \neq 0$.

---

б) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{3}x^3$ и $y = \frac{4}{3}x^3$ рассмотрим их свойства. Обе функции являются кубическими, вида $y=ax^3$. Графиком является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат (0,0).

• Для функции $y = \frac{1}{3}x^3$ коэффициент $a = \frac{1}{3}$. Так как $a>0$, график расположен в I и III координатных четвертях. Коэффициент $0 < a < 1$ означает, что график сжат к оси $Ox$ по сравнению со стандартной кубической параболой $y=x^3$.
• Для функции $y = \frac{4}{3}x^3$ коэффициент $a = \frac{4}{3}$. Так как $a>0$, график также расположен в I и III координатных четвертях. Коэффициент $a > 1$ означает, что график растянут от оси $Ox$ по сравнению с $y=x^3$.

Сравнивая функции, видим, что $\frac{4}{3} > \frac{1}{3}$. Это значит, что для $x>0$ график $y=\frac{4}{3}x^3$ лежит выше графика $y=\frac{1}{3}x^3$, а для $x<0$ — ниже. Для построения найдем несколько точек:

$x$	$y = \frac{1}{3}x^3$	$y = \frac{4}{3}x^3$
0	0	0
1	1/3 $\approx$ 0.33	4/3 $\approx$ 1.33
-1	-1/3 $\approx$ -0.33	-4/3 $\approx$ -1.33
2	8/3 $\approx$ 2.67	32/3 $\approx$ 10.67
-2	-8/3 $\approx$ -2.67	-32/3 $\approx$ -10.67

Ответ: Графики обеих функций — кубические параболы, проходящие через начало координат и симметричные относительно него. График $y = \frac{4}{3}x^3$ является более "крутым" (сильнее прижат к оси $Oy$). При $x>0$ он лежит выше графика $y = \frac{1}{3}x^3$, а при $x<0$ — ниже.

---

в) Для построения графиков функций $y = -\frac{1}{2}x^2$ и $y = -\frac{3}{2}x^2$ проанализируем их. Это квадратичные функции вида $y=ax^2$. Их графики — параболы с вершиной в (0,0), симметричные относительно оси $Oy$.

• Коэффициенты $a = -\frac{1}{2}$ и $a = -\frac{3}{2}$ отрицательны, поэтому ветви обеих парабол направлены вниз.
• По модулю $|-\frac{3}{2}| > |-\frac{1}{2}|$. Это означает, что парабола $y = -\frac{3}{2}x^2$ будет растянута вдоль оси $Oy$ сильнее, чем $y = -\frac{1}{2}x^2$. Следовательно, она будет "уже".

При любом $x \neq 0$, значение $y$ для функции $y = -\frac{3}{2}x^2$ будет меньше, чем для функции $y = -\frac{1}{2}x^2$. Таким образом, график $y = -\frac{3}{2}x^2$ будет лежать ниже графика $y = -\frac{1}{2}x^2$. Составим таблицу значений:

$x$	$y = -\frac{1}{2}x^2$	$y = -\frac{3}{2}x^2$
0	0	0
1	-0.5	-1.5
-1	-0.5	-1.5
2	-2	-6
-2	-2	-6

Ответ: Графики обеих функций — параболы с общей вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вниз. Парабола $y = -\frac{3}{2}x^2$ является более "узкой" и расположена ниже параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ при всех $x \neq 0$.

---

г) Для построения графиков функций $y = -\frac{1}{3}x^3$ и $y = -\frac{4}{3}x^3$ рассмотрим их свойства. Это кубические функции вида $y=ax^3$. Их графики — кубические параболы, симметричные относительно начала координат.

• Коэффициенты $a = -\frac{1}{3}$ и $a = -\frac{4}{3}$ отрицательны. Это значит, что графики являются отражением графиков из пункта б) относительно оси $Ox$. Они расположены во II и IV координатных четвертях.
• По модулю $|-\frac{4}{3}| > |-\frac{1}{3}|$, поэтому график $y = -\frac{4}{3}x^3$ будет более "крутым", то есть растянут сильнее от оси $Ox$.

Сравним функции. При $x>0$ (IV четверть), $x^3>0$, поэтому $-\frac{4}{3}x^3 < -\frac{1}{3}x^3$. График $y = -\frac{4}{3}x^3$ лежит ниже. При $x<0$ (II четверть), $x^3<0$, поэтому $-\frac{4}{3}x^3 > -\frac{1}{3}x^3$. График $y = -\frac{4}{3}x^3$ лежит выше. Составим таблицу значений:

$x$	$y = -\frac{1}{3}x^3$	$y = -\frac{4}{3}x^3$
0	0	0
1	-1/3 $\approx$ -0.33	-4/3 $\approx$ -1.33
-1	1/3 $\approx$ 0.33	4/3 $\approx$ 1.33
2	-8/3 $\approx$ -2.67	-32/3 $\approx$ -10.67
-2	8/3 $\approx$ 2.67	32/3 $\approx$ 10.67

Ответ: Графики обеих функций — кубические параболы, проходящие через начало координат и расположенные во II и IV четвертях. График $y = -\frac{4}{3}x^3$ является более "крутым". При $x>0$ он лежит ниже графика $y = -\frac{1}{3}x^3$, а при $x<0$ — выше.