Страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.43° Какую функцию называют степенной? Приведите примеры степенных функций.

Какую функцию называют степенной?

Степенной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = x^p$, где $x$ — это независимая переменная (аргумент функции, основание степени), а $p$ — это некоторое заданное действительное число (показатель степени). Ключевое отличие степенной функции заключается в том, что переменная находится в основании степени, в то время как показатель степени является постоянной величиной.

Ответ: Степенной функцией является функция вида $y = x^p$, где $p$ — заданное действительное число.

Приведите примеры степенных функций.

В зависимости от показателя степени $p$, степенные функции могут иметь различный вид и свойства. Вот несколько примеров:

• Если показатель — натуральное число, например, $p=2$, получаем квадратичную функцию: $y = x^2$.
• Если показатель — натуральное число, например, $p=3$, получаем кубическую функцию: $y = x^3$.
• Если показатель — целое отрицательное число, например, $p=-1$, получаем обратную пропорциональность: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
• Если показатель — целое отрицательное число, например, $p=-2$: $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
• Если показатель — дробное число, например, $p = \frac{1}{2}$, получаем функцию квадратного корня: $y = x^{1/2} = \sqrt{x}$.
• Если показатель — дробное число, например, $p = \frac{1}{3}$, получаем функцию кубического корня: $y = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$.

Ответ: Примеры степенных функций: $y=x^2$, $y=x^3$, $y=\frac{1}{x}$, $y=\sqrt{x}$.

5.44° Входит ли число 0 в область определения функции $y = x^{\beta}$, если $\beta > 0$?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В нашем случае мы рассматриваем степенную функцию $y = x^\beta$. Необходимо определить, существует ли значение этой функции при $x = 0$ при условии, что показатель степени $\beta > 0$.

Подставим значение $x = 0$ в функцию:
$y = 0^\beta$

По определению возведения в степень, любое положительное число $\beta$ в качестве показателя степени при основании, равном нулю, дает в результате ноль. То есть, для любого $\beta > 0$ выражение $0^\beta$ определено и равно 0.

Рассмотрим несколько примеров:
Если $\beta = 3$ (целое положительное), то $y = 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
Если $\beta = 1/2$ (дробное положительное), то $y = 0^{1/2} = \sqrt{0} = 0$.
Если $\beta = \pi$ (иррациональное положительное), то $y = 0^\pi = 0$.

Поскольку для любого $\beta > 0$ мы можем вычислить значение функции при $x=0$, то число 0 входит в область определения функции $y = x^\beta$.

Стоит отметить, что если бы показатель степени был отрицательным ($\beta < 0$), то мы бы получили $y = 0^\beta = \frac{1}{0^{|\beta|}} = \frac{1}{0}$, что является неопределенным выражением из-за деления на ноль. Если бы $\beta = 0$, выражение $0^0$ было бы неопределенностью. Но условие задачи $\beta > 0$ гарантирует, что функция определена в точке $x=0$.

Ответ: да, число 0 входит в область определения функции $y = x^\beta$, если $\beta > 0$.

5.45° Какова область определения функции $y = x^{\beta}$, если:

а) $\beta > 0$;

б) $\beta \leq 0$?

Область определения степенной функции $y = x^\beta$ существенно зависит от показателя степени $\beta$.

Рассмотрим различные возможные случаи для показателя $\beta > 0$.

Если $\beta$ — натуральное число (например, $2, 3, ...$) или положительное рациональное число с нечетным знаменателем в несократимой записи (например, $\beta = 1/3, 5/7, ...$), то функция $y=x^\beta$ определена для всех действительных чисел $x$. В этом случае область определения — $x \in (-\infty; +\infty)$. Например, $y=x^2$ или $y=x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$.

Если $\beta$ — положительное иррациональное число (например, $\pi, \sqrt{2}, ...$) или положительное рациональное число с четным знаменателем в несократимой записи (например, $\beta = 1/2, 3/4, ...$), то функция $y=x^\beta$ по определению задается только для неотрицательных значений основания $x$. В этом случае область определения — $x \ge 0$. Например, $y=x^{1/2}=\sqrt{x}$ или $y=x^\pi$.

Поскольку в условии задачи природа числа $\beta$ не уточнена, чтобы дать ответ, верный для любого возможного $\beta > 0$, необходимо выбрать наиболее общее (наиболее ограничивающее) условие на $x$. Таким условием является $x \ge 0$. Это гарантирует, что выражение $x^\beta$ будет определено для любого положительного показателя $\beta$. При $x=0$ и $\beta > 0$, значение функции $0^\beta = 0$ является определенным.

Ответ: В общем случае, область определения функции $y=x^\beta$ при $\beta>0$ есть промежуток $[0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая, входящие в это условие: $\beta = 0$ и $\beta < 0$.

Случай 1: $\beta = 0$.
Функция принимает вид $y = x^0$. По стандартному определению, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Выражение $0^0$ является неопределенностью и, как правило, не определено. Таким образом, область определения функции $y=x^0$ — это все действительные числа, кроме нуля: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Случай 2: $\beta < 0$.
Пусть $\beta = -\alpha$, где $\alpha > 0$. Тогда функция имеет вид $y = x^{-\alpha} = \frac{1}{x^\alpha}$.
Из этой записи видно, что знаменатель $x^\alpha$ не может быть равен нулю, что означает $x \neq 0$. Кроме того, само выражение $x^\alpha$ в знаменателе должно быть определено. Как и в пункте а), область определения $x^\alpha$ зависит от природы числа $\alpha>0$: - Если $\alpha$ — такое, что $x^\alpha$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$ (например, $\alpha$ — целое), то с учетом $x \neq 0$ область определения $y = 1/x^\alpha$ есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. - Если $\alpha$ — такое, что $x^\alpha$ определено только для $x \ge 0$ (например, $\alpha = 1/2$ или $\alpha = \pi$), то с учетом $x \neq 0$ область определения $y = 1/x^\alpha$ есть $x > 0$.

Для того чтобы дать общий ответ для всего условия $\beta \le 0$, необходимо найти множество значений $x$, при которых функция $y=x^\beta$ будет определена для любого $\beta$, удовлетворяющего этому условию. - Значение $x=0$ недопустимо, так как при $\beta \le 0$ возникает либо деление на ноль ($1/0^\alpha$), либо неопределенность $0^0$. - Отрицательные значения $x$ недопустимы, так как для многих $\beta \le 0$ (например, $\beta=-1/2$) выражение $x^\beta$ не определено в области действительных чисел. - Положительные значения $x > 0$ являются допустимыми для любого действительного показателя $\beta$, включая все $\beta \le 0$.Следовательно, наиболее общая область определения, работающая для любого $\beta \le 0$, — это множество всех положительных чисел.

Ответ: В общем случае, область определения функции $y=x^\beta$ при $\beta \le 0$ есть промежуток $(0; +\infty)$.

5.46° Какими свойствами обладает функция $y = x^n$, $n \in \mathbb{N}$, если:

а) $n$ — чётное число;

б) $n$ — нечётное число?

Если показатель степени $n$ в функции $y = x^n$ является натуральным чётным числом (например, $n=2, 4, 6, \dots$), то функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $n$ – чётное число, $x^n$ всегда будет неотрицательным ($x^n \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, область значений функции – это все числа от 0, включая 0, до плюс бесконечности. Записывается как $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Чётность: функция является чётной. Это следует из того, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$, поскольку любое число в чётной степени положительно. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Нули функции: значение функции равно нулю только в одной точке. Уравнение $x^n = 0$ имеет единственный корень $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$. То есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет точку минимума. Минимальное значение функции $y_{min} = y(0) = 0$. Максимума функция не имеет.

8. Ограниченность: функция ограничена снизу (значением 0), но не ограничена сверху.

9. Непрерывность: как и любая степенная функция с натуральным показателем, она непрерывна на всей области определения.

Ответ: Если $n$ - чётное натуральное число, функция $y=x^n$ является чётной, непрерывной, с областью определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$ и областью значений $E(y)=[0; +\infty)$. Она убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Имеет глобальный минимум в точке $(0,0)$. Функция ограничена снизу.

Если показатель степени $n$ в функции $y = x^n$ является натуральным нечётным числом (например, $n=1, 3, 5, \dots$), то функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: функция может принимать любое действительное значение, как положительное, так и отрицательное. Область значений – все действительные числа. Записывается как $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Чётность: функция является нечётной. Это следует из того, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$, поскольку нечётная степень сохраняет знак числа. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции: значение функции равно нулю только в одной точке. Уравнение $x^n = 0$ имеет единственный корень $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $x > 0$ и отрицательные значения ($y < 0$) при $x < 0$.

6. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек экстремума (ни максимумов, ни минимумов). Точка $x=0$ является точкой перегиба.

8. Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

9. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Если $n$ - нечётное натуральное число, функция $y=x^n$ является нечётной, непрерывной, с областью определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$ и областью значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Она строго возрастает на всей области определения. Экстремумов не имеет. Функция не является ограниченной.

5.47° Какими свойствами обладает функция $y = x^{-n}$, $n \in N$, если:

а) $n$ — чётное число;

б) $n$ — нечётное число?

Рассмотрим свойства функции $y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (натуральное число), в зависимости от чётности $n$.

а) $n$ – чётное число

Если $n$ — чётное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Функция принимает вид $y = x^{-2k} = \frac{1}{x^{2k}}$.

Основные свойства этой функции:

• Область определения $D(y)$: так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, $x^{2k} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: поскольку показатель степени $2k$ является чётным числом, знаменатель $x^{2k}$ всегда положителен при любом $x \neq 0$. Следовательно, значение функции $y = \frac{1}{x^{2k}}$ также всегда будет положительным. При $x \to 0$, $y \to +\infty$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Значит, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Чётность: проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{-2k} = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Нули и экстремумы: функция не обращается в нуль, так как числитель равен 1. Локальных максимумов и минимумов (экстремумов) у функции нет.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$), так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2k}} = +\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось $Ox$), так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{2k}} = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна на всей своей области определения, т.е. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Если $n$ — чётное натуральное число, функция $y=x^{-n}$ является чётной, её область определения $D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y)=(0; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$). Нулей и экстремумов нет.

б) $n$ – нечётное число

Если $n$ — нечётное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$. Функция принимает вид $y = x^{-(2k-1)} = \frac{1}{x^{2k-1}}$.

Основные свойства этой функции:

• Область определения $D(y)$: так же, как и в предыдущем случае, знаменатель не должен быть равен нулю, $x^{2k-1} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: если $x > 0$, то $x^{2k-1} > 0$ и $y > 0$. Если $x < 0$, то $x^{2k-1} < 0$ и $y < 0$. Таким образом, функция принимает все действительные значения, кроме нуля. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Чётность: проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{-(2k-1)} = \frac{1}{(-x)^{2k-1}} = \frac{1}{-x^{2k-1}} = - \frac{1}{x^{2k-1}} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Нули и экстремумы: функция не обращается в нуль, так как числитель равен 1. Локальных экстремумов у функции нет.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$), так как $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2k-1}} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^{2k-1}} = -\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось $Ox$), так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{2k-1}} = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$.

Ответ: Если $n$ — нечётное натуральное число, функция $y=x^{-n}$ является нечётной, её область определения $D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$). Нулей и экстремумов нет.

5.48 Постройте график функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^4$;

в) $y = x^3$;

г) $y = x^5$;

д) $y = x^{-1}$;

е) $y = x^{-3}$;

ж) $y = x^{-2}$;

з) $y = x^{-4}$.

а) $y = x^2$

Это степенная функция с натуральным четным показателем 2. Графиком является парабола.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Все действительные числа.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Все неотрицательные числа.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.

Для построения графика найдем несколько точек:

Соединяя эти точки плавной кривой, получаем параболу с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

Ответ: График функции $y=x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, симметричная относительно оси Oy, проходящая через точки $(-1,1)$, $(1,1)$, $(-2,4)$, $(2,4)$.

б) $y = x^4$

Это степенная функция с натуральным четным показателем 4. График похож на параболу $y=x^2$, но имеет некоторые отличия.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $(0, 0)$ — точка минимума.

Таблица значений:

По сравнению с параболой $y=x^2$, график $y=x^4$ при $|x| < 1$ лежит ближе к оси Ox (более пологий), а при $|x| > 1$ растет быстрее (более крутой).

Ответ: График функции $y=x^4$ — кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0,0)$. Она проходит через точки $(-1,1)$ и $(1,1)$ и является более "плоской" около нуля и более "крутой" при $|x|>1$ по сравнению с параболой $y=x^2$.

в) $y = x^3$

Это степенная функция с натуральным нечетным показателем 3. Графиком является кубическая парабола.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения.

Таблица значений:

График расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=x^3$ — кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него, возрастающая на всей числовой прямой.

г) $y = x^5$

Степенная функция с натуральным нечетным показателем 5. График похож на кубическую параболу $y=x^3$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения.

Таблица значений:

График $y=x^5$ прижат к оси Ox сильнее, чем $y=x^3$ на интервале $(-1, 1)$, и растет быстрее при $|x| > 1$.

Ответ: График функции $y=x^5$ — кривая, симметричная относительно начала координат, возрастающая на всей числовой прямой. По сравнению с $y=x^3$, она более пологая около нуля и более крутая при $|x|>1$.

д) $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$

Степенная функция с целым отрицательным показателем -1. Графиком является гипербола.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $x \ne 0$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $y \ne 0$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=1/x$ — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой находятся в I и III четвертях и симметричны относительно начала координат.

е) $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$

Степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем -3. График похож на гиперболу.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

Ветви графика расположены в I и III четвертях. По сравнению с $y=1/x$, график $y=1/x^3$ быстрее приближается к оси Ox при $|x| \to \infty$ и быстрее стремится к бесконечности при $x \to 0$.

Ответ: График функции $y=1/x^3$ — кривая из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

ж) $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Степенная функция с целым отрицательным четным показателем -2.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. Функция принимает только положительные значения.
• Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=1/x^2$ — кривая из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

з) $y = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$

Степенная функция с целым отрицательным четным показателем -4.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

График похож на график $y=1/x^2$, но при $|x| \to \infty$ быстрее приближается к оси Ox, а при $x \to 0$ быстрее стремится к бесконечности.

Ответ: График функции $y=1/x^4$ — кривая из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy, с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Ветви графика более "прижаты" к осям координат по сравнению с графиком $y=1/x^2$.

5.49 В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = x^{\frac{3}{2}};

б) $y = x^{\frac{1}{3}}$ и $y = x^{\frac{4}{3}};

в) $y = x^{-\frac{1}{2}}$ и $y = x^{-\frac{3}{2}};

г) $y = x^{-\frac{1}{3}}$ и $y = x^{-\frac{4}{3}}.

а) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{3}{2}x^2$ в одной системе координат проанализируем их. Обе функции являются квадратичными, вида $y=ax^2$. Графиком такой функции является парабола с вершиной в начале координат (0,0), симметричная относительно оси $Oy$.

Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы и ее "ширину".

• Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$ коэффициент $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Так как $0 < |a| < 1$, график представляет собой параболу $y=x^2$, сжатую к оси $Ox$ в 2 раза (вертикальное сжатие), то есть она будет "шире" стандартной.
• Для функции $y = \frac{3}{2}x^2$ коэффициент $a = \frac{3}{2}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы также направлены вверх. Так как $|a| > 1$, график представляет собой параболу $y=x^2$, растянутую от оси $Ox$ в 1.5 раза (вертикальное растяжение), то есть она будет "уже" стандартной.

Сравнивая две функции, видим, что при любом $x \neq 0$, график $y = \frac{3}{2}x^2$ будет лежать выше графика $y = \frac{1}{2}x^2$. Для построения найдем несколько точек:

Ответ: Графики обеих функций — это параболы с общей вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх. Парабола $y = \frac{3}{2}x^2$ является более "узкой" (сильнее прижата к оси $Oy$) и расположена выше параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ при всех $x \neq 0$.

б) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{3}x^3$ и $y = \frac{4}{3}x^3$ рассмотрим их свойства. Обе функции являются кубическими, вида $y=ax^3$. Графиком является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат (0,0).

• Для функции $y = \frac{1}{3}x^3$ коэффициент $a = \frac{1}{3}$. Так как $a>0$, график расположен в I и III координатных четвертях. Коэффициент $0 < a < 1$ означает, что график сжат к оси $Ox$ по сравнению со стандартной кубической параболой $y=x^3$.
• Для функции $y = \frac{4}{3}x^3$ коэффициент $a = \frac{4}{3}$. Так как $a>0$, график также расположен в I и III координатных четвертях. Коэффициент $a > 1$ означает, что график растянут от оси $Ox$ по сравнению с $y=x^3$.

Сравнивая функции, видим, что $\frac{4}{3} > \frac{1}{3}$. Это значит, что для $x>0$ график $y=\frac{4}{3}x^3$ лежит выше графика $y=\frac{1}{3}x^3$, а для $x<0$ — ниже. Для построения найдем несколько точек:

Ответ: Графики обеих функций — кубические параболы, проходящие через начало координат и симметричные относительно него. График $y = \frac{4}{3}x^3$ является более "крутым" (сильнее прижат к оси $Oy$). При $x>0$ он лежит выше графика $y = \frac{1}{3}x^3$, а при $x<0$ — ниже.

в) Для построения графиков функций $y = -\frac{1}{2}x^2$ и $y = -\frac{3}{2}x^2$ проанализируем их. Это квадратичные функции вида $y=ax^2$. Их графики — параболы с вершиной в (0,0), симметричные относительно оси $Oy$.

• Коэффициенты $a = -\frac{1}{2}$ и $a = -\frac{3}{2}$ отрицательны, поэтому ветви обеих парабол направлены вниз.
• По модулю $|-\frac{3}{2}| > |-\frac{1}{2}|$. Это означает, что парабола $y = -\frac{3}{2}x^2$ будет растянута вдоль оси $Oy$ сильнее, чем $y = -\frac{1}{2}x^2$. Следовательно, она будет "уже".

При любом $x \neq 0$, значение $y$ для функции $y = -\frac{3}{2}x^2$ будет меньше, чем для функции $y = -\frac{1}{2}x^2$. Таким образом, график $y = -\frac{3}{2}x^2$ будет лежать ниже графика $y = -\frac{1}{2}x^2$. Составим таблицу значений:

Ответ: Графики обеих функций — параболы с общей вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вниз. Парабола $y = -\frac{3}{2}x^2$ является более "узкой" и расположена ниже параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ при всех $x \neq 0$.

г) Для построения графиков функций $y = -\frac{1}{3}x^3$ и $y = -\frac{4}{3}x^3$ рассмотрим их свойства. Это кубические функции вида $y=ax^3$. Их графики — кубические параболы, симметричные относительно начала координат.

• Коэффициенты $a = -\frac{1}{3}$ и $a = -\frac{4}{3}$ отрицательны. Это значит, что графики являются отражением графиков из пункта б) относительно оси $Ox$. Они расположены во II и IV координатных четвертях.
• По модулю $|-\frac{4}{3}| > |-\frac{1}{3}|$, поэтому график $y = -\frac{4}{3}x^3$ будет более "крутым", то есть растянут сильнее от оси $Ox$.

Сравним функции. При $x>0$ (IV четверть), $x^3>0$, поэтому $-\frac{4}{3}x^3 < -\frac{1}{3}x^3$. График $y = -\frac{4}{3}x^3$ лежит ниже. При $x<0$ (II четверть), $x^3<0$, поэтому $-\frac{4}{3}x^3 > -\frac{1}{3}x^3$. График $y = -\frac{4}{3}x^3$ лежит выше. Составим таблицу значений:

Ответ: Графики обеих функций — кубические параболы, проходящие через начало координат и расположенные во II и IV четвертях. График $y = -\frac{4}{3}x^3$ является более "крутым". При $x>0$ он лежит ниже графика $y = -\frac{1}{3}x^3$, а при $x<0$ — выше.