Страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.9 a) Какое уравнение называют простейшим логарифмическим уравнением?

б) Сколько решений имеет уравнение $\log_a x = b$, если $a > 0$, $a \neq 1$, $b \in \mathbb{R}$?

а) Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида $\log_a x = b$, где $x$ — это переменная, а $a$ и $b$ — заданные числа. При этом на основание логарифма $a$ накладываются стандартные ограничения: $a > 0$ и $a \neq 1$. Любое логарифмическое уравнение после преобразований, как правило, сводится к одному или нескольким простейшим.
Ответ: Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида $\log_a x = b$, где $a > 0$, $a \neq 1$.

б) Рассмотрим уравнение $\log_a x = b$ при условиях $a > 0$, $a \neq 1$ и $b \in \mathbb{R}$ (то есть $b$ — любое действительное число).
По определению логарифма, равенство $\log_a x = b$ означает, что $x$ — это число, которое получается, если возвести основание $a$ в степень $b$. Таким образом, данное уравнение равносильно следующему:
$x = a^b$
Поскольку $a$ — это заданное положительное, не равное единице число, а $b$ — заданное действительное число, то значение выражения $a^b$ является единственным. Это означает, что для $x$ существует только одно возможное значение.
Также стоит отметить, что для любого действительного $b$ и положительного $a$, значение $a^b$ всегда будет положительным ($a^b > 0$). Это удовлетворяет области определения логарифма, так как аргумент логарифма ($x$) должен быть строго больше нуля.
Следовательно, при заданных условиях уравнение всегда имеет ровно одно решение.
Ответ: Уравнение имеет одно решение.

Решите уравнение (6.10—6.15):

6.10 а) $\log_2 x = 5$;

б) $\log_3 x = 0,5$;

в) $\log_5 x = -1$;

г) $\log_{0,5} x = 2$;

д) $\log_{0,3} x = -1$;

е) $\log_{0,25} x = -0,5$.

Для решения данных уравнений воспользуемся определением логарифма: логарифмом числа $x$ по основанию $a$ называется такое число $b$, что $a^b = x$. Это записывается как $\log_a x = b$. При этом основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а число под знаком логарифма $x$ должно быть строго больше нуля ($x > 0$).

а) Дано уравнение $\log_2 x = 5$.

Согласно определению логарифма, если $\log_2 x = 5$, то $x = 2^5$.

Вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $x = 32$.

Ответ: $32$.

б) Дано уравнение $\log_3 x = 0,5$.

Согласно определению логарифма, если $\log_3 x = 0,5$, то $x = 3^{0,5}$.

Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, то $x = 3^{\frac{1}{2}}$.

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня, поэтому $x = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Дано уравнение $\log_5 x = -1$.

Согласно определению логарифма, если $\log_5 x = -1$, то $x = 5^{-1}$.

Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$x = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

г) Дано уравнение $\log_{0,5} x = 2$.

Согласно определению логарифма, если $\log_{0,5} x = 2$, то $x = (0,5)^2$.

Представим $0,5$ в виде дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Тогда $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.

В десятичной форме $x = 0,25$.

Ответ: $0,25$.

д) Дано уравнение $\log_{0,3} x = -1$.

Согласно определению логарифма, если $\log_{0,3} x = -1$, то $x = (0,3)^{-1}$.

Представим $0,3$ в виде дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.

Тогда $x = (\frac{3}{10})^{-1}$. Используя свойство степеней $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:

$x = (\frac{10}{3})^1 = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$.

е) Дано уравнение $\log_{0,25} x = -0,5$.

Согласно определению логарифма, если $\log_{0,25} x = -0,5$, то $x = (0,25)^{-0,5}$.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,25 = \frac{1}{4}$ и $0,5 = \frac{1}{2}$.

Тогда уравнение принимает вид $x = (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}$.

Используя свойства степеней, сначала разберемся с отрицательным показателем: $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{4}{1})^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}}$.

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ это то же самое, что и извлечение квадратного корня:

$x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.