Страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.24 a) $3^{x+1} - \frac{2}{3^{x+1}-2} = 1;$

б) $5^{x-1} + \frac{2}{5^{x-1}+2} = 1;$

в) $\frac{3^{x+1}+5}{3^x-1} - \frac{3^{x+1}-5}{3^x+1} = 6;$

г) $\frac{2^{x+1}+3}{2^x-1} - \frac{2^{x+1}-1}{2^x+1} = 6.$

а) Исходное уравнение: $3^{x+1} - \frac{2}{3^{x+1}-2} = 1$.

Для решения этого показательного уравнения введем замену. Пусть $t = 3^{x+1}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Также, знаменатель дроби не должен быть равен нулю (область допустимых значений, ОДЗ): $3^{x+1} - 2 \neq 0$, что означает $t \neq 2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t - \frac{2}{t-2} = 1$

Умножим обе части уравнения на $(t-2)$, чтобы избавиться от дроби:

$t(t-2) - 2 = 1 \cdot (t-2)$

$t^2 - 2t - 2 = t - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - 3t = 0$

Вынесем $t$ за скобки: $t(t-3) = 0$.

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.

Проверим полученные корни на соответствие условиям $t > 0$ и $t \neq 2$.

Корень $t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $t_2 = 3$ удовлетворяет обоим условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 2$).

Выполним обратную замену для $t=3$:

$3^{x+1} = 3$

Поскольку $3 = 3^1$, можем приравнять показатели степеней:

$x+1 = 1$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

б) Исходное уравнение: $5^{x-1} + \frac{2}{5^{x-1}+2} = 1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^{x-1}$. Так как $5^{x-1} > 0$, то $t > 0$.

Знаменатель $5^{x-1}+2$ всегда больше 2, так как $5^{x-1} > 0$. Следовательно, он никогда не равен нулю, и дополнительных ограничений на $x$ нет.

Подставим $t$ в уравнение:

$t + \frac{2}{t+2} = 1$

Умножим обе части на $(t+2)$:

$t(t+2) + 2 = 1 \cdot (t+2)$

$t^2 + 2t + 2 = t + 2$

$t^2 + t = 0$

Вынесем $t$ за скобки: $t(t+1) = 0$.

Получаем два решения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.

Оба решения не удовлетворяют условию $t > 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

в) Исходное уравнение: $\frac{3^{x+1}+5}{3^x-1} - \frac{3^{x+1}-5}{3^x+1} = 6$.

Упростим выражение $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$. Введем замену $t = 3^x$. Условие: $t>0$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $3^x - 1 \neq 0 \implies 3^x \neq 1 \implies x \neq 0$. В терминах $t$, $t \neq 1$. $3^x + 1 \neq 0$ выполняется всегда, так как $3^x > 0$.

Перепишем уравнение с переменной $t$:

$\frac{3t+5}{t-1} - \frac{3t-5}{t+1} = 6$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t-1)(t+1) = t^2-1$:

$\frac{(3t+5)(t+1) - (3t-5)(t-1)}{t^2-1} = 6$

Раскроем скобки в числителе, а знаменатель перенесем в правую часть:

$(3t^2+3t+5t+5) - (3t^2-3t-5t+5) = 6(t^2-1)$

$(3t^2+8t+5) - (3t^2-8t+5) = 6t^2-6$

$16t = 6t^2-6$

Получаем квадратное уравнение: $6t^2 - 16t - 6 = 0$. Разделим на 2: $3t^2 - 8t - 3 = 0$.

Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-3) = 64 + 36 = 100$.

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Проверяем корни: $t_1=3$ удовлетворяет условиям ($t>0, t \neq 1$). $t_2=-1/3$ не удовлетворяет условию $t>0$.

Выполняем обратную замену: $3^x = 3$, откуда $x=1$.

Проверяем по ОДЗ: $x=1 \neq 0$. Решение подходит.

Ответ: $x=1$.

г) Исходное уравнение: $\frac{2^{x+1}+3}{2^x-1} - \frac{2^{x+1}-1}{2^x+1} = 6$.

Упростим $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Введем замену $t = 2^x$, где $t>0$.

ОДЗ: $2^x - 1 \neq 0 \implies 2^x \neq 1 \implies x \neq 0$. Для $t$ это означает $t \neq 1$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$\frac{2t+3}{t-1} - \frac{2t-1}{t+1} = 6$

Приводим к общему знаменателю $t^2-1$:

$\frac{(2t+3)(t+1) - (2t-1)(t-1)}{t^2-1} = 6$

$(2t^2+2t+3t+3) - (2t^2-2t-t+1) = 6(t^2-1)$

$(2t^2+5t+3) - (2t^2-3t+1) = 6t^2-6$

$8t+2 = 6t^2-6$

Переносим все в одну сторону: $6t^2 - 8t - 8 = 0$. Разделим на 2: $3t^2 - 4t - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$.

$t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Проверяем корни: $t_1=2$ подходит ($t>0, t \neq 1$). $t_2=-2/3$ не подходит ($t>0$).

Обратная замена: $2^x = 2$, откуда $x=1$.

Проверяем по ОДЗ: $x=1 \neq 0$. Решение верное.

Ответ: $x=1$.

6.25 a) $\frac{2}{3^x - 1} + 4 = \frac{5}{3^x - 2}$;

Б) $\frac{1}{5^x} = \frac{1}{5^x - 2} + 2$;

В) $\frac{5^x}{5^x - 2} = \frac{8}{25^x - 4}$;

Г) $\frac{7^x}{7^x - 3} = \frac{18}{49^x - 9}$.

а) Решим уравнение $\frac{2}{3^x - 1} + 4 = \frac{5}{3^x - 2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $3^x - 1 \neq 0$ и $3^x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \log_3 2$.

Произведем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$\frac{2}{t - 1} + 4 = \frac{5}{t - 2}$

Приведем к общему знаменателю $(t-1)(t-2)$ и преобразуем уравнение, учитывая, что $t \neq 1$ и $t \neq 2$:

$2(t - 2) + 4(t - 1)(t - 2) = 5(t - 1)$

$2t - 4 + 4(t^2 - 3t + 2) = 5t - 5$

$2t - 4 + 4t^2 - 12t + 8 = 5t - 5$

$4t^2 - 10t + 4 = 5t - 5$

$4t^2 - 15t + 9 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{15 - 9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{15 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Оба значения $t$ положительны и не равны $1$ или $2$, следовательно, они подходят.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = \frac{3}{4}$, то $3^x = \frac{3}{4} \implies x = \log_3\left(\frac{3}{4}\right)$.

2) Если $t = 3$, то $3^x = 3 \implies x = 1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \log_3\left(\frac{3}{4}\right)$.

б) Решим уравнение $\frac{1}{5^x} = \frac{1}{5^x - 2} + 2$.

ОДЗ: $5^x \neq 0$ (выполняется всегда) и $5^x - 2 \neq 0 \implies x \neq \log_5 2$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{t - 2} + 2$

Приводим к общему знаменателю $t(t-2)$ с учетом ОДЗ ($t \neq 2$):

$1(t - 2) = 1 \cdot t + 2t(t - 2)$

$t - 2 = t + 2t^2 - 4t$

$2t^2 - 4t + 2 = 0$

Разделим обе части на 2:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$. Это значение удовлетворяет условиям $t > 0$ и $t \neq 2$.

Выполним обратную замену:

$5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0$.

Найденный корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

в) Решим уравнение $\frac{5^x}{5^x - 2} = \frac{8}{25^x - 4}$.

Заметим, что $25^x = (5^x)^2$. Знаменатель правой части можно разложить по формуле разности квадратов: $25^x - 4 = (5^x)^2 - 2^2 = (5^x-2)(5^x+2)$.

ОДЗ: $5^x - 2 \neq 0$ и $5^x + 2 \neq 0$. Второе неравенство выполняется всегда ($5^x > 0$). Из первого следует $5^x \neq 2 \implies x \neq \log_5 2$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$\frac{t}{t - 2} = \frac{8}{t^2 - 4} \implies \frac{t}{t - 2} = \frac{8}{(t - 2)(t + 2)}$

Учитывая ОДЗ ($t \neq 2$), умножим обе части на $(t-2)(t+2)$:

$t(t+2) = 8$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Проверим корни:

1) $t_1 = 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($t \neq 2$), так как при $t=2$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Это посторонний корень.

2) $t_2 = -4$. Этот корень не удовлетворяет условию замены ($t > 0$), так как показательная функция $5^x$ всегда положительна.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

г) Решим уравнение $\frac{7^x}{7^x - 3} = \frac{18}{49^x - 9}$.

Заметим, что $49^x = (7^x)^2$. Знаменатель правой части: $49^x - 9 = (7^x)^2 - 3^2 = (7^x-3)(7^x+3)$.

ОДЗ: $7^x - 3 \neq 0$ и $7^x + 3 \neq 0$. Второе неравенство выполняется всегда ($7^x > 0$). Из первого следует $7^x \neq 3 \implies x \neq \log_7 3$.

Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$\frac{t}{t - 3} = \frac{18}{t^2 - 9} \implies \frac{t}{t - 3} = \frac{18}{(t - 3)(t + 3)}$

Учитывая ОДЗ ($t \neq 3$), умножим обе части на $(t-3)(t+3)$:

$t(t+3) = 18$

$t^2 + 3t - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -6$.

Проверим корни:

1) $t_1 = 3$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($t \neq 3$), так как при $t=3$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Это посторонний корень.

2) $t_2 = -6$. Этот корень не удовлетворяет условию замены ($t > 0$), так как показательная функция $7^x$ всегда положительна.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

6.26 a) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} + \frac{1}{\lg x} = \frac{3}{2};$

б) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x - \lg 0,1} = \frac{2}{3}.$

a) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} + \frac{1}{\lg x} = \frac{3}{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.
$x > 0$
$\lg x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$\lg x + \lg 0,1 \neq 0$. Так как $\lg 0,1 = \lg(10^{-1}) = -1$, то $\lg x - 1 \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 1 \Rightarrow x \neq 10$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 10) \cup (10; +\infty)$.

2. Упростим уравнение, используя свойство логарифма $\lg 0,1 = -1$:
$\frac{1}{\lg x - 1} + \frac{1}{\lg x} = \frac{3}{2}$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
При этом, согласно ОДЗ, $t \neq 0$ и $t \neq 1$.

4. Решим полученное рациональное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t(t-1)$:
$\frac{t + (t-1)}{t(t-1)} = \frac{3}{2}$
$\frac{2t - 1}{t^2 - t} = \frac{3}{2}$

5. Используем свойство пропорции:
$2(2t - 1) = 3(t^2 - t)$
$4t - 2 = 3t^2 - 3t$
$3t^2 - 7t + 2 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня удовлетворяют условиям $t \neq 0$ и $t \neq 1$.

7. Вернемся к исходной переменной:
Если $t = 2$, то $\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$.
Если $t = \frac{1}{3}$, то $\lg x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 10^{1/3} = \sqrt[3]{10}$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $100; \sqrt[3]{10}$.

б) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x - \lg 0,1} = \frac{2}{3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$x > 0$
$\lg x + \lg 0,1 \neq 0 \Rightarrow \lg x - 1 \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 1 \Rightarrow x \neq 10$.
$\lg x - \lg 0,1 \neq 0 \Rightarrow \lg x - (-1) \neq 0 \Rightarrow \lg x + 1 \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq -1 \Rightarrow x \neq 0,1$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0; 0,1) \cup (0,1; 10) \cup (10; +\infty)$.

2. Упростим уравнение, используя $\lg 0,1 = -1$:
$\frac{1}{\lg x - 1} - \frac{1}{\lg x + 1} = \frac{2}{3}$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} = \frac{2}{3}$
Согласно ОДЗ, $t \neq 1$ и $t \neq -1$.

4. Решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(t-1)(t+1) = t^2 - 1$:
$\frac{(t+1) - (t-1)}{(t-1)(t+1)} = \frac{2}{3}$
$\frac{t+1-t+1}{t^2 - 1} = \frac{2}{3}$
$\frac{2}{t^2 - 1} = \frac{2}{3}$

5. Так как числители равны и не равны нулю, мы можем приравнять знаменатели:
$t^2 - 1 = 3$
$t^2 = 4$
$t_1 = 2$, $t_2 = -2$.
Оба значения удовлетворяют условиям $t \neq 1$ и $t \neq -1$.

6. Вернемся к исходной переменной:
Если $t = 2$, то $\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$.
Если $t = -2$, то $\lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = 0,01$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $100; 0,01$.

6.27 a) $\log_2 x + 5 \log_x 2 = 6;$

Б) $\log_{0.5} x + 3 \log_x 0.5 = 4;$

В) $5 \log_3 x - 3 \log_x 3 = 2;$

Г) $\log_{0.3} x + 9 \log_x 0.3 = 10.$

а) $log_2 x + 5 log_x 2 = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для логарифмов $log_2 x$ и $log_x 2$ должны выполняться условия: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию для второго слагаемого: $log_x 2 = \frac{1}{log_2 x}$.
Подставим это в исходное уравнение: $log_2 x + 5 \cdot \frac{1}{log_2 x} = 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_2 x$. Тогда уравнение примет вид:
$t + \frac{5}{t} = 6$
Умножим обе части на $t$ (при условии $t \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 1$):
$t^2 + 5 = 6t$
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 6$
$t_1 \cdot t_2 = 5$
Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Вернемся к исходной переменной:
1) $log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$
2) $log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 32$.

б) $log_{0,5} x + 3 log_x 0,5 = 4$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

Используем формулу $log_x 0,5 = \frac{1}{log_{0,5} x}$ и подставляем в уравнение:
$log_{0,5} x + 3 \cdot \frac{1}{log_{0,5} x} = 4$

Пусть $t = log_{0,5} x$. Уравнение становится:
$t + \frac{3}{t} = 4$
$t^2 + 3 = 4t$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение (по теореме Виета $t_1+t_2=4, t_1 \cdot t_2=3$):
$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Производим обратную замену:
1) $log_{0,5} x = 1 \implies x = 0,5^1 = 0,5$
2) $log_{0,5} x = 3 \implies x = 0,5^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0,125$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0,5, x_2 = 0,125$.

в) $5 log_3 x - 3 log_x 3 = 2$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

Используем формулу $log_x 3 = \frac{1}{log_3 x}$:
$5 log_3 x - 3 \cdot \frac{1}{log_3 x} = 2$

Пусть $t = log_3 x$. Получаем уравнение:
$5t - \frac{3}{t} = 2$
$5t^2 - 3 = 2t$
$5t^2 - 2t - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Возвращаемся к переменной $x$:
1) $log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$
2) $log_3 x = -\frac{3}{5} \implies x = 3^{-3/5}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 3^{-3/5}$.

г) $log_{0,3} x + 9 log_x 0,3 = 10$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

Используем формулу $log_x 0,3 = \frac{1}{log_{0,3} x}$:
$log_{0,3} x + 9 \cdot \frac{1}{log_{0,3} x} = 10$

Пусть $t = log_{0,3} x$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{9}{t} = 10$
$t^2 + 9 = 10t$
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Решаем по теореме Виета ($t_1+t_2=10, t_1 \cdot t_2=9$):
$t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Выполняем обратную замену:
1) $log_{0,3} x = 1 \implies x = 0,3^1 = 0,3$
2) $log_{0,3} x = 9 \implies x = 0,3^9$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0,3, x_2 = 0,3^9$.

6.28 a) $\frac{1}{\lg (3x - 2)} + \frac{2}{\lg (3x - 2) + \lg 0,01} = -1;$

б) $\frac{1}{\lg (9x - 8)} + \frac{4}{\lg (9x - 8) + \lg 0,001} = -1;$

в) $\frac{4}{\lg (3x - 5) + 2} + \frac{6}{\lg (3x - 5) - 3} = -5;$

г) $\frac{6}{\lg (x + 7) + 2} - \frac{6}{\lg (x + 7) - 3} = 5.$

а) $ \frac{1}{\lg(3x - 2)} + \frac{2}{\lg(3x - 2) + \lg 0,01} = -1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.
Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$ \lg(3x - 2) \neq 0 \implies 3x - 2 \neq 10^0 \implies 3x - 2 \neq 1 \implies 3x \neq 3 \implies x \neq 1 $.
$ \lg(3x - 2) + \lg 0,01 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,01 = \lg 10^{-2} = -2 $, то $ \lg(3x - 2) - 2 \neq 0 \implies \lg(3x - 2) \neq 2 \implies 3x - 2 \neq 10^2 \implies 3x - 2 \neq 100 \implies 3x \neq 102 \implies x \neq 34 $.
ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}; 1) \cup (1; 34) \cup (34; +\infty) $.

2. Упростим уравнение: $ \frac{1}{\lg(3x - 2)} + \frac{2}{\lg(3x - 2) - 2} = -1 $.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \lg(3x - 2) $, где $ t \neq 0 $ и $ t \neq 2 $.
$ \frac{1}{t} + \frac{2}{t - 2} = -1 $.

4. Решим полученное рациональное уравнение:
$ \frac{t - 2 + 2t}{t(t - 2)} = -1 $
$ 3t - 2 = -t(t - 2) $
$ 3t - 2 = -t^2 + 2t $
$ t^2 + t - 2 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = -2 $ и $ t_2 = 1 $. Оба корня удовлетворяют условиям $ t \neq 0 $ и $ t \neq 2 $.

5. Выполним обратную замену.
Если $ t_1 = -2 $, то $ \lg(3x - 2) = -2 \implies 3x - 2 = 10^{-2} \implies 3x - 2 = 0,01 \implies 3x = 2,01 \implies x = 0,67 $.
Если $ t_2 = 1 $, то $ \lg(3x - 2) = 1 \implies 3x - 2 = 10^1 \implies 3x = 12 \implies x = 4 $.

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x = 0,67 $. $ 0,67 = \frac{67}{100} > \frac{2}{3} $ (так как $ 201 > 200 $). Корень подходит.
$ x = 4 $. $ 4 > \frac{2}{3} $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = 0,67; x_2 = 4 $.

б) $ \frac{1}{\lg(9x - 8)} + \frac{4}{\lg(9x - 8) + \lg 0,001} = -1 $

1. ОДЗ:
$ 9x - 8 > 0 \implies 9x > 8 \implies x > \frac{8}{9} $.
$ \lg(9x - 8) \neq 0 \implies 9x - 8 \neq 1 \implies 9x \neq 9 \implies x \neq 1 $.
$ \lg(9x - 8) + \lg 0,001 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,001 = \lg 10^{-3} = -3 $, то $ \lg(9x - 8) - 3 \neq 0 \implies \lg(9x - 8) \neq 3 \implies 9x - 8 \neq 10^3 \implies 9x \neq 1008 \implies x \neq 112 $.
ОДЗ: $ x \in (\frac{8}{9}; 1) \cup (1; 112) \cup (112; +\infty) $.

2. Упростим уравнение: $ \frac{1}{\lg(9x - 8)} + \frac{4}{\lg(9x - 8) - 3} = -1 $.

3. Сделаем замену. Пусть $ t = \lg(9x - 8) $, где $ t \neq 0 $ и $ t \neq 3 $.
$ \frac{1}{t} + \frac{4}{t - 3} = -1 $.

4. Решим уравнение:
$ \frac{t - 3 + 4t}{t(t - 3)} = -1 $
$ 5t - 3 = -t(t - 3) $
$ 5t - 3 = -t^2 + 3t $
$ t^2 + 2t - 3 = 0 $
Корни: $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 1 $. Оба корня допустимы.

5. Обратная замена:
Если $ t_1 = -3 $, то $ \lg(9x - 8) = -3 \implies 9x - 8 = 10^{-3} \implies 9x = 8,001 \implies x = 0,889 $.
Если $ t_2 = 1 $, то $ \lg(9x - 8) = 1 \implies 9x - 8 = 10 \implies 9x = 18 \implies x = 2 $.

6. Проверка по ОДЗ.
$ x = 0,889 $. $ 0,889 > \frac{8}{9} \approx 0,888... $. Корень подходит.
$ x = 2 $. $ 2 > \frac{8}{9} $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = 0,889; x_2 = 2 $.

в) $ \frac{4}{\lg(3x - 5) + 2} + \frac{6}{\lg(3x - 5) - 3} = -5 $

1. ОДЗ:
$ 3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3} $ ($ \approx 1,667 $).
$ \lg(3x - 5) + 2 \neq 0 \implies \lg(3x - 5) \neq -2 \implies 3x - 5 \neq 10^{-2} \implies 3x \neq 5,01 \implies x \neq 1,67 $.
$ \lg(3x - 5) - 3 \neq 0 \implies \lg(3x - 5) \neq 3 \implies 3x - 5 \neq 10^3 \implies 3x \neq 1005 \implies x \neq 335 $.
ОДЗ: $ x \in (\frac{5}{3}; 1,67) \cup (1,67; 335) \cup (335; +\infty) $.

2. Сделаем замену. Пусть $ t = \lg(3x - 5) $, где $ t \neq -2 $ и $ t \neq 3 $.
$ \frac{4}{t + 2} + \frac{6}{t - 3} = -5 $.

3. Решим уравнение:
$ 4(t - 3) + 6(t + 2) = -5(t + 2)(t - 3) $
$ 4t - 12 + 6t + 12 = -5(t^2 - t - 6) $
$ 10t = -5t^2 + 5t + 30 $
$ 5t^2 + 5t - 30 = 0 $
$ t^2 + t - 6 = 0 $
Корни: $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 2 $. Оба корня допустимы.

4. Обратная замена:
Если $ t_1 = -3 $, то $ \lg(3x - 5) = -3 \implies 3x - 5 = 10^{-3} \implies 3x = 5,001 \implies x = 1,667 $.
Если $ t_2 = 2 $, то $ \lg(3x - 5) = 2 \implies 3x - 5 = 10^2 \implies 3x = 105 \implies x = 35 $.

5. Проверка по ОДЗ.
$ x = 1,667 $. $ 1,667 > \frac{5}{3} \approx 1,666... $ и $ x \neq 1,67 $. Корень подходит.
$ x = 35 $. $ 35 > \frac{5}{3} $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = 1,667; x_2 = 35 $.

г) $ \frac{6}{\lg(x + 7) + 2} - \frac{6}{\lg(x + 7) - 3} = 5 $

1. ОДЗ:
$ x + 7 > 0 \implies x > -7 $.
$ \lg(x + 7) + 2 \neq 0 \implies \lg(x + 7) \neq -2 \implies x + 7 \neq 10^{-2} \implies x \neq -6,99 $.
$ \lg(x + 7) - 3 \neq 0 \implies \lg(x + 7) \neq 3 \implies x + 7 \neq 10^3 \implies x \neq 993 $.
ОДЗ: $ x \in (-7; -6,99) \cup (-6,99; 993) \cup (993; +\infty) $.

2. Сделаем замену. Пусть $ t = \lg(x + 7) $, где $ t \neq -2 $ и $ t \neq 3 $.
$ \frac{6}{t + 2} - \frac{6}{t - 3} = 5 $.

3. Решим уравнение:
$ 6(t - 3) - 6(t + 2) = 5(t + 2)(t - 3) $
$ 6t - 18 - 6t - 12 = 5(t^2 - t - 6) $
$ -30 = 5t^2 - 5t - 30 $
$ 5t^2 - 5t = 0 $
$ 5t(t - 1) = 0 $
Корни: $ t_1 = 0 $ и $ t_2 = 1 $. Оба корня допустимы.

4. Обратная замена:
Если $ t_1 = 0 $, то $ \lg(x + 7) = 0 \implies x + 7 = 10^0 \implies x + 7 = 1 \implies x = -6 $.
Если $ t_2 = 1 $, то $ \lg(x + 7) = 1 \implies x + 7 = 10^1 \implies x + 7 = 10 \implies x = 3 $.

5. Проверка по ОДЗ.
$ x = -6 $. $ -6 > -7 $. Корень подходит.
$ x = 3 $. $ 3 > -7 $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = -6; x_2 = 3 $.