Номер 6.28, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного - номер 6.28, страница 173.

Условие.

6.28 a) $\frac{1}{\lg (3x - 2)} + \frac{2}{\lg (3x - 2) + \lg 0,01} = -1;$

б) $\frac{1}{\lg (9x - 8)} + \frac{4}{\lg (9x - 8) + \lg 0,001} = -1;$

в) $\frac{4}{\lg (3x - 5) + 2} + \frac{6}{\lg (3x - 5) - 3} = -5;$

г) $\frac{6}{\lg (x + 7) + 2} - \frac{6}{\lg (x + 7) - 3} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \frac{1}{\lg(3x - 2)} + \frac{2}{\lg(3x - 2) + \lg 0,01} = -1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.
Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$ \lg(3x - 2) \neq 0 \implies 3x - 2 \neq 10^0 \implies 3x - 2 \neq 1 \implies 3x \neq 3 \implies x \neq 1 $.
$ \lg(3x - 2) + \lg 0,01 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,01 = \lg 10^{-2} = -2 $, то $ \lg(3x - 2) - 2 \neq 0 \implies \lg(3x - 2) \neq 2 \implies 3x - 2 \neq 10^2 \implies 3x - 2 \neq 100 \implies 3x \neq 102 \implies x \neq 34 $.
ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}; 1) \cup (1; 34) \cup (34; +\infty) $.

2. Упростим уравнение: $ \frac{1}{\lg(3x - 2)} + \frac{2}{\lg(3x - 2) - 2} = -1 $.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \lg(3x - 2) $, где $ t \neq 0 $ и $ t \neq 2 $.
$ \frac{1}{t} + \frac{2}{t - 2} = -1 $.

4. Решим полученное рациональное уравнение:
$ \frac{t - 2 + 2t}{t(t - 2)} = -1 $
$ 3t - 2 = -t(t - 2) $
$ 3t - 2 = -t^2 + 2t $
$ t^2 + t - 2 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = -2 $ и $ t_2 = 1 $. Оба корня удовлетворяют условиям $ t \neq 0 $ и $ t \neq 2 $.

5. Выполним обратную замену.
Если $ t_1 = -2 $, то $ \lg(3x - 2) = -2 \implies 3x - 2 = 10^{-2} \implies 3x - 2 = 0,01 \implies 3x = 2,01 \implies x = 0,67 $.
Если $ t_2 = 1 $, то $ \lg(3x - 2) = 1 \implies 3x - 2 = 10^1 \implies 3x = 12 \implies x = 4 $.

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x = 0,67 $. $ 0,67 = \frac{67}{100} > \frac{2}{3} $ (так как $ 201 > 200 $). Корень подходит.
$ x = 4 $. $ 4 > \frac{2}{3} $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = 0,67; x_2 = 4 $.

б) $ \frac{1}{\lg(9x - 8)} + \frac{4}{\lg(9x - 8) + \lg 0,001} = -1 $

1. ОДЗ:
$ 9x - 8 > 0 \implies 9x > 8 \implies x > \frac{8}{9} $.
$ \lg(9x - 8) \neq 0 \implies 9x - 8 \neq 1 \implies 9x \neq 9 \implies x \neq 1 $.
$ \lg(9x - 8) + \lg 0,001 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,001 = \lg 10^{-3} = -3 $, то $ \lg(9x - 8) - 3 \neq 0 \implies \lg(9x - 8) \neq 3 \implies 9x - 8 \neq 10^3 \implies 9x \neq 1008 \implies x \neq 112 $.
ОДЗ: $ x \in (\frac{8}{9}; 1) \cup (1; 112) \cup (112; +\infty) $.

2. Упростим уравнение: $ \frac{1}{\lg(9x - 8)} + \frac{4}{\lg(9x - 8) - 3} = -1 $.

3. Сделаем замену. Пусть $ t = \lg(9x - 8) $, где $ t \neq 0 $ и $ t \neq 3 $.
$ \frac{1}{t} + \frac{4}{t - 3} = -1 $.

4. Решим уравнение:
$ \frac{t - 3 + 4t}{t(t - 3)} = -1 $
$ 5t - 3 = -t(t - 3) $
$ 5t - 3 = -t^2 + 3t $
$ t^2 + 2t - 3 = 0 $
Корни: $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 1 $. Оба корня допустимы.

5. Обратная замена:
Если $ t_1 = -3 $, то $ \lg(9x - 8) = -3 \implies 9x - 8 = 10^{-3} \implies 9x = 8,001 \implies x = 0,889 $.
Если $ t_2 = 1 $, то $ \lg(9x - 8) = 1 \implies 9x - 8 = 10 \implies 9x = 18 \implies x = 2 $.

6. Проверка по ОДЗ.
$ x = 0,889 $. $ 0,889 > \frac{8}{9} \approx 0,888... $. Корень подходит.
$ x = 2 $. $ 2 > \frac{8}{9} $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = 0,889; x_2 = 2 $.

в) $ \frac{4}{\lg(3x - 5) + 2} + \frac{6}{\lg(3x - 5) - 3} = -5 $

1. ОДЗ:
$ 3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3} $ ($ \approx 1,667 $).
$ \lg(3x - 5) + 2 \neq 0 \implies \lg(3x - 5) \neq -2 \implies 3x - 5 \neq 10^{-2} \implies 3x \neq 5,01 \implies x \neq 1,67 $.
$ \lg(3x - 5) - 3 \neq 0 \implies \lg(3x - 5) \neq 3 \implies 3x - 5 \neq 10^3 \implies 3x \neq 1005 \implies x \neq 335 $.
ОДЗ: $ x \in (\frac{5}{3}; 1,67) \cup (1,67; 335) \cup (335; +\infty) $.

2. Сделаем замену. Пусть $ t = \lg(3x - 5) $, где $ t \neq -2 $ и $ t \neq 3 $.
$ \frac{4}{t + 2} + \frac{6}{t - 3} = -5 $.

3. Решим уравнение:
$ 4(t - 3) + 6(t + 2) = -5(t + 2)(t - 3) $
$ 4t - 12 + 6t + 12 = -5(t^2 - t - 6) $
$ 10t = -5t^2 + 5t + 30 $
$ 5t^2 + 5t - 30 = 0 $
$ t^2 + t - 6 = 0 $
Корни: $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 2 $. Оба корня допустимы.

4. Обратная замена:
Если $ t_1 = -3 $, то $ \lg(3x - 5) = -3 \implies 3x - 5 = 10^{-3} \implies 3x = 5,001 \implies x = 1,667 $.
Если $ t_2 = 2 $, то $ \lg(3x - 5) = 2 \implies 3x - 5 = 10^2 \implies 3x = 105 \implies x = 35 $.

5. Проверка по ОДЗ.
$ x = 1,667 $. $ 1,667 > \frac{5}{3} \approx 1,666... $ и $ x \neq 1,67 $. Корень подходит.
$ x = 35 $. $ 35 > \frac{5}{3} $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = 1,667; x_2 = 35 $.

г) $ \frac{6}{\lg(x + 7) + 2} - \frac{6}{\lg(x + 7) - 3} = 5 $

1. ОДЗ:
$ x + 7 > 0 \implies x > -7 $.
$ \lg(x + 7) + 2 \neq 0 \implies \lg(x + 7) \neq -2 \implies x + 7 \neq 10^{-2} \implies x \neq -6,99 $.
$ \lg(x + 7) - 3 \neq 0 \implies \lg(x + 7) \neq 3 \implies x + 7 \neq 10^3 \implies x \neq 993 $.
ОДЗ: $ x \in (-7; -6,99) \cup (-6,99; 993) \cup (993; +\infty) $.

2. Сделаем замену. Пусть $ t = \lg(x + 7) $, где $ t \neq -2 $ и $ t \neq 3 $.
$ \frac{6}{t + 2} - \frac{6}{t - 3} = 5 $.

3. Решим уравнение:
$ 6(t - 3) - 6(t + 2) = 5(t + 2)(t - 3) $
$ 6t - 18 - 6t - 12 = 5(t^2 - t - 6) $
$ -30 = 5t^2 - 5t - 30 $
$ 5t^2 - 5t = 0 $
$ 5t(t - 1) = 0 $
Корни: $ t_1 = 0 $ и $ t_2 = 1 $. Оба корня допустимы.

4. Обратная замена:
Если $ t_1 = 0 $, то $ \lg(x + 7) = 0 \implies x + 7 = 10^0 \implies x + 7 = 1 \implies x = -6 $.
Если $ t_2 = 1 $, то $ \lg(x + 7) = 1 \implies x + 7 = 10^1 \implies x + 7 = 10 \implies x = 3 $.

5. Проверка по ОДЗ.
$ x = -6 $. $ -6 > -7 $. Корень подходит.
$ x = 3 $. $ 3 > -7 $. Корень подходит.
Ответ: $ x_1 = -6; x_2 = 3 $.