Номер 6.25, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.25, страница 173.

6.25 a) $\frac{2}{3^x - 1} + 4 = \frac{5}{3^x - 2}$;

Б) $\frac{1}{5^x} = \frac{1}{5^x - 2} + 2$;

В) $\frac{5^x}{5^x - 2} = \frac{8}{25^x - 4}$;

Г) $\frac{7^x}{7^x - 3} = \frac{18}{49^x - 9}$.

а) Решим уравнение $\frac{2}{3^x - 1} + 4 = \frac{5}{3^x - 2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $3^x - 1 \neq 0$ и $3^x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \log_3 2$.

Произведем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$\frac{2}{t - 1} + 4 = \frac{5}{t - 2}$

Приведем к общему знаменателю $(t-1)(t-2)$ и преобразуем уравнение, учитывая, что $t \neq 1$ и $t \neq 2$:

$2(t - 2) + 4(t - 1)(t - 2) = 5(t - 1)$

$2t - 4 + 4(t^2 - 3t + 2) = 5t - 5$

$2t - 4 + 4t^2 - 12t + 8 = 5t - 5$

$4t^2 - 10t + 4 = 5t - 5$

$4t^2 - 15t + 9 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{15 - 9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{15 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Оба значения $t$ положительны и не равны $1$ или $2$, следовательно, они подходят.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = \frac{3}{4}$, то $3^x = \frac{3}{4} \implies x = \log_3\left(\frac{3}{4}\right)$.

2) Если $t = 3$, то $3^x = 3 \implies x = 1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \log_3\left(\frac{3}{4}\right)$.

б) Решим уравнение $\frac{1}{5^x} = \frac{1}{5^x - 2} + 2$.

ОДЗ: $5^x \neq 0$ (выполняется всегда) и $5^x - 2 \neq 0 \implies x \neq \log_5 2$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{t - 2} + 2$

Приводим к общему знаменателю $t(t-2)$ с учетом ОДЗ ($t \neq 2$):

$1(t - 2) = 1 \cdot t + 2t(t - 2)$

$t - 2 = t + 2t^2 - 4t$

$2t^2 - 4t + 2 = 0$

Разделим обе части на 2:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$. Это значение удовлетворяет условиям $t > 0$ и $t \neq 2$.

Выполним обратную замену:

$5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0$.

Найденный корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

в) Решим уравнение $\frac{5^x}{5^x - 2} = \frac{8}{25^x - 4}$.

Заметим, что $25^x = (5^x)^2$. Знаменатель правой части можно разложить по формуле разности квадратов: $25^x - 4 = (5^x)^2 - 2^2 = (5^x-2)(5^x+2)$.

ОДЗ: $5^x - 2 \neq 0$ и $5^x + 2 \neq 0$. Второе неравенство выполняется всегда ($5^x > 0$). Из первого следует $5^x \neq 2 \implies x \neq \log_5 2$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$\frac{t}{t - 2} = \frac{8}{t^2 - 4} \implies \frac{t}{t - 2} = \frac{8}{(t - 2)(t + 2)}$

Учитывая ОДЗ ($t \neq 2$), умножим обе части на $(t-2)(t+2)$:

$t(t+2) = 8$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Проверим корни:

1) $t_1 = 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($t \neq 2$), так как при $t=2$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Это посторонний корень.

2) $t_2 = -4$. Этот корень не удовлетворяет условию замены ($t > 0$), так как показательная функция $5^x$ всегда положительна.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

г) Решим уравнение $\frac{7^x}{7^x - 3} = \frac{18}{49^x - 9}$.

Заметим, что $49^x = (7^x)^2$. Знаменатель правой части: $49^x - 9 = (7^x)^2 - 3^2 = (7^x-3)(7^x+3)$.

ОДЗ: $7^x - 3 \neq 0$ и $7^x + 3 \neq 0$. Второе неравенство выполняется всегда ($7^x > 0$). Из первого следует $7^x \neq 3 \implies x \neq \log_7 3$.

Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$\frac{t}{t - 3} = \frac{18}{t^2 - 9} \implies \frac{t}{t - 3} = \frac{18}{(t - 3)(t + 3)}$

Учитывая ОДЗ ($t \neq 3$), умножим обе части на $(t-3)(t+3)$:

$t(t+3) = 18$

$t^2 + 3t - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -6$.

Проверим корни:

1) $t_1 = 3$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($t \neq 3$), так как при $t=3$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Это посторонний корень.

2) $t_2 = -6$. Этот корень не удовлетворяет условию замены ($t > 0$), так как показательная функция $7^x$ всегда положительна.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.