Номер 6.29, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Простейшие показательные неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.29, страница 177.

6.29° Какое неравенство называют простейшим показательным неравенством?

6.29°

Простейшим показательным неравенством называют неравенство, в котором неизвестная переменная находится в показателе степени. В самом общем виде это неравенства, которые можно свести к одной из следующих форм:

• $a^x > b$
• $a^x < b$
• $a^x \ge b$
• $a^x \le b$

где $a$ — основание степени, которое является положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), $x$ — переменная, а $b$ — некоторое действительное число.

Решение таких неравенств, как правило, включает приведение их к виду, где в обеих частях стоят степени с одинаковым основанием. То есть к неравенству вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другими знаками: $<$, $\ge$, $\le$).

Ключевым свойством для решения простейших показательных неравенств является монотонность показательной функции $y = a^t$. В зависимости от значения основания $a$ существуют два случая:

1. Если основание $a > 1$, то показательная функция $y=a^t$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется.
   Например, $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$.
2. Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y=a^t$ является строго убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства изменяется на противоположный.
   Например, $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$.

Таким образом, "простейшее" показательное неравенство — это такое неравенство, решение которого сводится к сравнению показателей степеней после приведения обеих частей неравенства к одному основанию.

Ответ: Простейшим показательным неравенством называют неравенство вида $a^x > b$ (а также с другими знаками: $<, \ge, \le$), или неравенство, которое сводится к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, где $a$ — постоянное число (основание степени), удовлетворяющее условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.