Страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.29° Какое неравенство называют простейшим показательным неравенством?

Простейшим показательным неравенством называют неравенство, в котором неизвестная переменная находится в показателе степени. В самом общем виде это неравенства, которые можно свести к одной из следующих форм:

• $a^x > b$
• $a^x < b$
• $a^x \ge b$
• $a^x \le b$

где $a$ — основание степени, которое является положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), $x$ — переменная, а $b$ — некоторое действительное число.

Решение таких неравенств, как правило, включает приведение их к виду, где в обеих частях стоят степени с одинаковым основанием. То есть к неравенству вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другими знаками: $<$, $\ge$, $\le$).

Ключевым свойством для решения простейших показательных неравенств является монотонность показательной функции $y = a^t$. В зависимости от значения основания $a$ существуют два случая:

1. Если основание $a > 1$, то показательная функция $y=a^t$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется.
   Например, $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$.
2. Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y=a^t$ является строго убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства изменяется на противоположный.
   Например, $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$.

Таким образом, "простейшее" показательное неравенство — это такое неравенство, решение которого сводится к сравнению показателей степеней после приведения обеих частей неравенства к одному основанию.

Ответ: Простейшим показательным неравенством называют неравенство вида $a^x > b$ (а также с другими знаками: $<, \ge, \le$), или неравенство, которое сводится к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, где $a$ — постоянное число (основание степени), удовлетворяющее условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

6.30 Является ли число 1 решением неравенства:

а) $2^x < 3;$

б) $2^x > 1;$

в) $2^x \le 1;$

г) $(0,5)^x < 3;$

д) $(0,1)^x > 1;$

е) $(0,2)^x \le 0,2?$

Для того чтобы определить, является ли число 1 решением неравенства, необходимо подставить $x=1$ в каждое неравенство и проверить истинность полученного числового выражения.

а) $2^x < 3$

Подставляем $x=1$ в неравенство: $2^1 < 3$. Вычисляем степень: $2 < 3$. Полученное неравенство является верным, так как 2 действительно меньше 3. Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.

Ответ: да, является.

б) $2^x > 1$

Подставляем $x=1$ в неравенство: $2^1 > 1$. Вычисляем степень: $2 > 1$. Полученное неравенство является верным, так как 2 действительно больше 1. Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.

Ответ: да, является.

в) $2^x \le 1$

Подставляем $x=1$ в неравенство: $2^1 \le 1$. Вычисляем степень: $2 \le 1$. Полученное неравенство является неверным, так как 2 не меньше и не равно 1. Следовательно, число 1 не является решением данного неравенства.

Ответ: нет, не является.

г) $(0,5)^x < 3$

Подставляем $x=1$ в неравенство: $(0,5)^1 < 3$. Вычисляем степень: $0,5 < 3$. Полученное неравенство является верным, так как 0,5 действительно меньше 3. Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.

Ответ: да, является.

д) $(0,1)^x > 1$

Подставляем $x=1$ в неравенство: $(0,1)^1 > 1$. Вычисляем степень: $0,1 > 1$. Полученное неравенство является неверным, так как 0,1 не больше 1. Следовательно, число 1 не является решением данного неравенства.

Ответ: нет, не является.

е) $(0,2)^x \le 0,2$

Подставляем $x=1$ в неравенство: $(0,2)^1 \le 0,2$. Вычисляем степень: $0,2 \le 0,2$. Полученное неравенство является верным, так как 0,2 равно 0,2, что удовлетворяет знаку "меньше или равно". Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.

Ответ: да, является.

Решите неравенство (6.31–6.35):

6.31

а) $2^x > 4$;

б) $5^x < 125$;

в) $3^x > -1$;

г) $(0,5)^x < -1$;

д) $(0,2)^x > 1$;

е) $8^x > 64$.

а) $2^x > 4$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2. Число 4 можно представить как $2^2$.

Неравенство принимает вид: $2^x > 2^2$.

Так как основание степени $a=2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

б) $5^x < 125$

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Число 125 это $5^3$, так как $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Неравенство можно переписать в виде: $5^x < 5^3$.

Основание степени $a=5$ больше 1 ($5 > 1$), поэтому функция $y=5^x$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

в) $3^x > -1$

Рассмотрим функцию $y=3^x$. Это показательная функция с основанием $a=3$, которое больше 1. Область значений любой показательной функции $y=a^x$ (при $a>0, a\neq1$) — это все положительные действительные числа, то есть $y \in (0, +\infty)$.

Таким образом, выражение $3^x$ всегда принимает положительные значения при любом действительном $x$.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, в том числе и -1. Следовательно, неравенство $3^x > -1$ верно для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) $(0.5)^x < -1$

Рассмотрим левую часть неравенства. $y=(0.5)^x$ — это показательная функция с основанием $a=0.5$. Как и в предыдущем примере, значение показательной функции всегда положительно, то есть $(0.5)^x > 0$ для любого действительного $x$.

Неравенство $(0.5)^x < -1$ требует, чтобы положительное число было меньше отрицательного, что невозможно.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

д) $(0.2)^x > 1$

Приведем обе части неравенства к основанию 0.2. Число 1 можно представить как любое ненулевое число в степени 0, то есть $1 = (0.2)^0$.

Неравенство принимает вид: $(0.2)^x > (0.2)^0$.

Основание степени $a=0.2$ находится в интервале $0 < a < 1$. В этом случае показательная функция $y=(0.2)^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к показателям степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

е) $8^x > 64$

Приведем обе части неравенства к основанию 8. Число 64 это квадрат числа 8, то есть $64 = 8^2$.

Перепишем неравенство: $8^x > 8^2$.

Основание степени $a=8$ больше 1 ($8 > 1$), значит, функция $y=8^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

6.32 a) $4^x \ge 2;$

б) $9^x \le \frac{1}{3};$

в) $16^x \ge \frac{1}{2};$

г) $25^x \le 5;$

д) $4^x \le \frac{1}{2};$

е) $8^x \ge 4.$

а)

Решим неравенство $4^x \ge 2$.

Для решения показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 2.

Представим $4$ как степень двойки: $4 = 2^2$. Число 2 можно представить как $2^1$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(2^2)^x \ge 2^1$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^{2x} \ge 2^1$

Так как основание степени $2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что если значение функции в одной точке не меньше, чем в другой, то и ее аргумент в первой точке не меньше, чем во второй. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$2x \ge 1$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $9^x \le \frac{1}{3}$.

Приведем обе части к основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим в неравенство:

$(3^2)^x \le 3^{-1}$

$3^{2x} \le 3^{-1}$

Основание степени $3 > 1$, поэтому функция $y=3^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x \le -1$

$x \le -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]$.

в)

Решим неравенство $16^x \ge \frac{1}{2}$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим в неравенство:

$(2^4)^x \ge 2^{-1}$

$2^{4x} \ge 2^{-1}$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $25^x \le 5$.

Приведем обе части к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $5 = 5^1$.

Подставим в неравенство:

$(5^2)^x \le 5^1$

$5^{2x} \le 5^1$

Основание степени $5 > 1$, поэтому функция $y=5^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x \le 1$

$x \le \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}]$.

д)

Решим неравенство $4^x \le \frac{1}{2}$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим в неравенство:

$(2^2)^x \le 2^{-1}$

$2^{2x} \le 2^{-1}$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x \le -1$

$x \le -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]$.

е)

Решим неравенство $8^x \ge 4$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Подставим в неравенство:

$(2^3)^x \ge 2^2$

$2^{3x} \ge 2^2$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}, +\infty)$.

6.33 a) $81 \cdot 3^x > 1;$

б) $27 \cdot 3^x < 1;$

в) $3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > -7;$

г) $2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x < -5;$

д) $250 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x < 2;$

е) $12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x > 3.$

а) $81 \cdot 3^x > 1$
Представим число 81 как степень 3: $81 = 3^4$. Также представим 1 как степень 3: $1 = 3^0$.
Неравенство примет вид:
$3^4 \cdot 3^x > 3^0$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$3^{4+x} > 3^0$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$4 + x > 0$
$x > -4$
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

б) $27 \cdot 3^x < 1$
Представим 27 и 1 как степени 3: $27 = 3^3$ и $1 = 3^0$.
Неравенство примет вид:
$3^3 \cdot 3^x < 3^0$
$3^{3+x} < 3^0$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$3 + x < 0$
$x < -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

в) $3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > -7$
Разделим обе части неравенства на 3:
$\left(\frac{1}{2}\right)^x > -\frac{7}{3}$
Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) всегда принимает только положительные значения. То есть, $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ для любого действительного $x$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство верно для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x < -5$
Разделим обе части неравенства на 2:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x < -\frac{5}{2}$
Выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ всегда положительно для любого действительного $x$.
Положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: нет решений.

д) $250 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x < 2$
Разделим обе части неравенства на 250:
$\left(\frac{1}{5}\right)^x < \frac{2}{250}$
$\left(\frac{1}{5}\right)^x < \frac{1}{125}$
Представим $\frac{1}{125}$ как степень с основанием $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = \left(\frac{1}{5}\right)^3$.
$\left(\frac{1}{5}\right)^x < \left(\frac{1}{5}\right)^3$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

е) $12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x > 3$
Разделим обе части неравенства на 12:
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > \frac{3}{12}$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > \frac{1}{4}$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > \left(\frac{1}{4}\right)^1$
Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$x < 1$
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.