Страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.36° Какие неравенства называют простейшими логарифмическими неравенствами?

Простейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства, которые можно представить в одном из следующих видов: `$log_a(x) > b$`, `$log_a(x) < b$`, `$log_a(x) \ge b$`, или `$log_a(x) \le b$`. В этих неравенствах `$a$` является основанием логарифма (причем `$a > 0$` и `$a \ne 1$`), `$b$` — это некоторое действительное число, а `$x$` — переменная. В более общем виде под простейшими понимают и неравенства, где вместо переменной `$x$` стоит некоторая функция `$f(x)$`.

Решение таких неравенств основано на свойстве монотонности логарифмической функции и обязательном учёте её области допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма `$log_a(x)$` ОДЗ определяется условием `$x > 0$`. Решение любого логарифмического неравенства должно удовлетворять этому условию.

Ключевой шаг в решении — переход от неравенства с логарифмами к неравенству для их аргументов (операция потенцирования). Правило этого перехода зависит от величины основания `$a$`.

Случай 1: основание `$a > 1$`
Если основание логарифма больше единицы, то логарифмическая функция `$y = log_a(x)$` является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется.
Например, неравенство `$log_2(x) > 3$` решается следующим образом: так как основание `$2 > 1$`, знак `>` сохраняется. Переходим к неравенству `$x > 2^3$`, то есть `$x > 8$`. Это решение удовлетворяет ОДЗ (`$x > 0$`), поэтому оно является окончательным.

Случай 2: основание `$0 < a < 1$`
Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то логарифмическая функция `$y = log_a(x)$` является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
Например, для неравенства `$log_{0.5}(x) > 3$`, основание `$0.5 < 1$`. Следовательно, знак `>` меняется на `<`. Получаем `$x < (0.5)^3$`, то есть `$x < 0.125$`. Теперь необходимо учесть ОДЗ: `$x > 0$`. Объединяя оба условия (`$x < 0.125$` и `$x > 0$`), получаем итоговое решение в виде двойного неравенства: `$0 < x < 0.125$`.

Ответ: Простейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства вида `$log_a(x) \vee b$`, где `$a$` и `$b$` — числа (при этом `$a>0, a \ne 1$`), `$x$` — переменная, а `$\vee$` — один из знаков сравнения (`>`, `<`, `≥`, `≤`).

6.37 Какие решения имеет неравенство $\log_a x > \log_a b$ $(b > 0)$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$?

Для решения логарифмического неравенства $ \log_a x > \log_a b $ необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения основания $ a $, а также учесть область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ для логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положительным. Таким образом, для $ \log_a x $ должно выполняться условие $ x > 0 $. По условию задачи нам также дано, что $ b > 0 $.

а) Рассмотрим случай, когда $ a > 1 $.

Если основание логарифма больше единицы ($ a > 1 $), то логарифмическая функция $ y = \log_a x $ является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при решении неравенства знак для аргументов сохраняется:

$ \log_a x > \log_a b \implies x > b $

Теперь необходимо совместить полученное решение с ОДЗ ($ x > 0 $). Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > b \\ x > 0 \end{cases} $

Поскольку по условию $ b > 0 $, то неравенство $ x > b $ является более строгим. Любое значение $ x $, удовлетворяющее условию $ x > b $, автоматически будет больше нуля. Следовательно, решением системы является $ x > b $.

Ответ: $ x > b $, или в виде интервала $ x \in (b; +\infty) $.

б) Рассмотрим случай, когда $ 0 < a < 1 $.

Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1 ($ 0 < a < 1 $), то логарифмическая функция $ y = \log_a x $ является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак необходимо изменить на противоположный:

$ \log_a x > \log_a b \implies x < b $

Снова учтем ОДЗ ($ x > 0 $). Получим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < b \\ x > 0 \end{cases} $

Решением этой системы является двойное неравенство $ 0 < x < b $.

Ответ: $ 0 < x < b $, или в виде интервала $ x \in (0; b) $.

6.38 Какие решения имеет неравенство $\log_a x < \log_a b (b > 0)$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$?

a) a > 1

Дано логарифмическое неравенство $\log_a x < \log_a b$. Первым шагом является определение области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. По условию задачи $b > 0$, что обеспечивает существование логарифма в правой части неравенства.

В данном случае основание логарифма $a > 1$. Логарифмическая функция $y = \log_a t$ с основанием больше единицы является монотонно возрастающей. Это означает, что для аргументов выполняется неравенство с тем же знаком, что и для логарифмов. Следовательно, неравенство $\log_a x < \log_a b$ равносильно неравенству $x < b$.

Чтобы найти окончательное решение, необходимо учесть ОДЗ. Мы получаем систему неравенств: $ \begin{cases} x > 0 \\ x < b \end{cases} $ Решением этой системы является интервал, в котором $x$ одновременно больше нуля и меньше $b$.

Ответ: $0 < x < b$.

б) 0 < a < 1

Рассматривается то же неравенство $\log_a x < \log_a b$ с теми же условиями: $x > 0$ и $b > 0$.

В этом случае основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция $y = \log_a t$ с таким основанием является монотонно убывающей. Это означает, что меньшему значению логарифма соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Неравенство $\log_a x < \log_a b$ равносильно неравенству $x > b$.

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ в систему: $ \begin{cases} x > 0 \\ x > b \end{cases} $ Так как по условию $b$ является положительным числом ($b > 0$), то неравенство $x > b$ является более сильным, чем $x > 0$. Любое число, которое больше положительного $b$, автоматически будет больше нуля. Следовательно, решение системы — это $x > b$.

Ответ: $x > b$.

Решите неравенство (6.39—6.44):

6.39 a) $ \log_2 x > 1 $;

б) $ \log_3 x > -1 $;

в) $ \lg x < 2 $;

г) $ \log_9 x < 0 $;

д) $ \log_2 x > 0 $;

е) $ \lg x < -2 $.

а) Дано неравенство $\log_2 x > 1$.
1. Находим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Представляем правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $1 = \log_2 2^1 = \log_2 2$.
3. Переписываем неравенство: $\log_2 x > \log_2 2$.
4. Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 2$.
5. Совмещаем полученное решение с ОДЗ. Нужно, чтобы выполнялись оба условия: $x > 2$ и $x > 0$. Пересечением этих условий является $x > 2$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

б) Дано неравенство $\log_3 x > -1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем -1 в виде логарифма с основанием 3: $-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3 \frac{1}{3}$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_3 x > \log_3 \frac{1}{3}$.
4. Основание логарифма $a = 3 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > \frac{1}{3}$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

в) Дано неравенство $\lg x < 2$.
1. Обозначение $\lg x$ соответствует логарифму по основанию 10: $\log_{10} x$. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем 2 в виде десятичного логарифма: $2 = \lg 10^2 = \lg 100$.
3. Неравенство принимает вид: $\lg x < \lg 100$.
4. Основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 100$.
5. Совмещаем с ОДЗ ($x > 0$) и получаем итоговое решение: $0 < x < 100$.
Ответ: $x \in (0, 100)$.

г) Дано неравенство $\log_9 x < 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем 0 в виде логарифма с основанием 9: $0 = \log_9 9^0 = \log_9 1$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_9 x < \log_9 1$.
4. Основание логарифма $a = 9 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 1$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.

д) Дано неравенство $\log_2 x > 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем 0 в виде логарифма с основанием 2: $0 = \log_2 2^0 = \log_2 1$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2 1$.
4. Основание логарифма $a = 2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 1$.
5. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

е) Дано неравенство $\lg x < -2$.
1. Неравенство можно записать как $\log_{10} x < -2$. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем -2 в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg 10^{-2} = \lg 0.01$.
3. Неравенство принимает вид: $\lg x < \lg 0.01$.
4. Основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 0.01$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 0.01$.
Ответ: $x \in (0, 0.01)$.

6.40 а) $\log_{0,2} x > 1;$

б) $\log_{0,3} x > -1;$

в) $\log_{0,1} x < 2;$

г) $\log_{0,6} x \ge -1;$

д) $\log_{0,7} x \ge 0;$

е) $\log_{0,5} x \le 0.$

а) $\log_{0.2} x > 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Теперь представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием $0.2$:

$1 = \log_{0.2} (0.2)^1 = \log_{0.2} 0.2$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать как:

$\log_{0.2} x > \log_{0.2} 0.2$

Поскольку основание логарифма $a = 0.2$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{0.2} x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < 0.2$

Наконец, объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x < 0.2 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(0; 0.2)$.

Ответ: $(0; 0.2)$

б) $\log_{0.3} x > -1$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $-1$ в виде логарифма с основанием $0.3$:

$-1 = \log_{0.3} (0.3)^{-1} = \log_{0.3} \left(\frac{3}{10}\right)^{-1} = \log_{0.3} \frac{10}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.3} x > \log_{0.3} \frac{10}{3}$

Основание логарифма $a = 0.3$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x < \frac{10}{3}$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем систему:

$\begin{cases} x < \frac{10}{3} \\ x > 0 \end{cases}$

Решение: $0 < x < \frac{10}{3}$.

Ответ: $(0; \frac{10}{3})$

в) $\log_{0.1} x < 2$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $2$ в виде логарифма с основанием $0.1$:

$2 = \log_{0.1} (0.1)^2 = \log_{0.1} 0.01$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.1} x < \log_{0.1} 0.01$

Основание логарифма $a = 0.1$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x > 0.01$

Пересечение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > 0.01$) дает $x > 0.01$.

Ответ: $(0.01; +\infty)$

г) $\log_{0.6} x \ge -1$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $-1$ в виде логарифма с основанием $0.6$:

$-1 = \log_{0.6} (0.6)^{-1} = \log_{0.6} \left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \log_{0.6} \frac{10}{6} = \log_{0.6} \frac{5}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.6} x \ge \log_{0.6} \frac{5}{3}$

Основание логарифма $a = 0.6$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x \le \frac{5}{3}$

С учетом ОДЗ получаем систему:

$\begin{cases} x \le \frac{5}{3} \\ x > 0 \end{cases}$

Решение: $0 < x \le \frac{5}{3}$.

Ответ: $(0; \frac{5}{3}]$

д) $\log_{0.7} x \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $0$ в виде логарифма с основанием $0.7$:

$0 = \log_{0.7} (0.7)^0 = \log_{0.7} 1$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.7} x \ge \log_{0.7} 1$

Основание логарифма $a = 0.7$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x \le 1$

С учетом ОДЗ получаем систему:

$\begin{cases} x \le 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Решение: $0 < x \le 1$.

Ответ: $(0; 1]$

е) $\log_{0.5} x \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $0$ в виде логарифма с основанием $0.5$:

$0 = \log_{0.5} (0.5)^0 = \log_{0.5} 1$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5} x \le \log_{0.5} 1$

Основание логарифма $a = 0.5$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x \ge 1$

Пересечение с ОДЗ ($x > 0$ и $x \ge 1$) дает $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$

6.41 a) $5 \log_{2} x > 20$;

б) $-4 \log_{5} x < -12$;

в) $3 \log_{7} x \ge 6$;

г) $3 \log_{0,2} x > -6$;

д) $-6 \log_{0,5} x < -6$;

е) $-3 \log_{0,25} x \le 6.$

а) $5 \log_2 x > 20$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):
$\log_2 x > \frac{20}{5}$
$\log_2 x > 4$
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $4 = \log_2 2^4 = \log_2 16$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2 16$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак:
$x > 16$.
Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговый результат: $x > 16$.
Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

б) $-4 \log_5 x < -12$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_5 x > \frac{-12}{-4}$
$\log_5 x > 3$
Представим 3 в виде логарифма по основанию 5: $3 = \log_5 5^3 = \log_5 125$.
Получаем неравенство: $\log_5 x > \log_5 125$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$x > 125$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $x > 125$.
Ответ: $x \in (125; +\infty)$.

в) $3 \log_7 x \geq 6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 3:
$\log_7 x \geq \frac{6}{3}$
$\log_7 x \geq 2$
Представим 2 в виде логарифма по основанию 7: $2 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.
Получаем неравенство: $\log_7 x \geq \log_7 49$.
Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x \geq 49$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $x \geq 49$.
Ответ: $x \in [49; +\infty)$.

г) $3 \log_{0.2} x > -6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 3:
$\log_{0.2} x > \frac{-6}{3}$
$\log_{0.2} x > -2$
Представим -2 в виде логарифма по основанию 0.2: $-2 = \log_{0.2} (0.2)^{-2} = \log_{0.2} (\frac{1}{5})^{-2} = \log_{0.2} 5^2 = \log_{0.2} 25$.
Получаем неравенство: $\log_{0.2} x > \log_{0.2} 25$.
Так как основание логарифма $0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 25$.
Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговый результат: $0 < x < 25$.
Ответ: $x \in (0; 25)$.

д) $-6 \log_{0.5} x < -6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$\log_{0.5} x > \frac{-6}{-6}$
$\log_{0.5} x > 1$
Представим 1 в виде логарифма по основанию 0.5: $1 = \log_{0.5} 0.5$.
Получаем неравенство: $\log_{0.5} x > \log_{0.5} 0.5$.
Так как основание логарифма $0.5 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 0.5$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $0 < x < 0.5$.
Ответ: $x \in (0; 0.5)$.

е) $-3 \log_{0.25} x \leq 6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$\log_{0.25} x \geq \frac{6}{-3}$
$\log_{0.25} x \geq -2$
Представим -2 в виде логарифма по основанию 0.25: $-2 = \log_{0.25} (0.25)^{-2} = \log_{0.25} (\frac{1}{4})^{-2} = \log_{0.25} 4^2 = \log_{0.25} 16$.
Получаем неравенство: $\log_{0.25} x \geq \log_{0.25} 16$.
Так как основание логарифма $0.25 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq 16$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $0 < x \leq 16$.
Ответ: $x \in (0; 16]$.

6.42 a) $ \log_2 x + \log_4 x + \log_{16} x > 3,5; $

б) $ \log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x < \frac{11}{3}. $

а) $ \log_{2} x + \log_{4} x + \log_{16} x > 3,5 $

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2. Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $.
$ \log_{4} x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_{2} x $
$ \log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_{2} x $

3. Подставим эти выражения обратно в неравенство:
$ \log_{2} x + \frac{1}{2} \log_{2} x + \frac{1}{4} \log_{2} x > 3,5 $

4. Вынесем $ \log_{2} x $ за скобки и представим 3,5 в виде обыкновенной дроби $ \frac{7}{2} $:
$ \log_{2} x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) > \frac{7}{2} $
$ \log_{2} x (\frac{4+2+1}{4}) > \frac{7}{2} $
$ \log_{2} x \cdot \frac{7}{4} > \frac{7}{2} $

5. Разделим обе части неравенства на $ \frac{7}{4} $ (так как это положительное число, знак неравенства не меняется):
$ \log_{2} x > \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} $
$ \log_{2} x > 2 $

6. Решим полученное простейшее логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$ x > 2^2 $
$ x > 4 $

7. Сравниваем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Решение $ x > 4 $ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x \in (4; +\infty) $.

б) $ \log_{3} x + \log_{9} x + \log_{27} x < \frac{11}{3} $

1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 3, используя то же свойство, что и в пункте а):
$ \log_{9} x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_{3} x $
$ \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_{3} x $

3. Подставим выражения в исходное неравенство:
$ \log_{3} x + \frac{1}{2} \log_{3} x + \frac{1}{3} \log_{3} x < \frac{11}{3} $

4. Вынесем $ \log_{3} x $ за скобки:
$ \log_{3} x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) < \frac{11}{3} $
$ \log_{3} x (\frac{6+3+2}{6}) < \frac{11}{3} $
$ \log_{3} x \cdot \frac{11}{6} < \frac{11}{3} $

5. Разделим обе части на положительное число $ \frac{11}{6} $, знак неравенства не изменится:
$ \log_{3} x < \frac{11}{3} \cdot \frac{6}{11} $
$ \log_{3} x < 2 $

6. Решим простейшее логарифмическое неравенство. Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$ x < 3^2 $
$ x < 9 $

7. Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x > 0$). Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$ \begin{cases} x < 9 \\ x > 0 \end{cases} $
Решением этой системы является интервал $ 0 < x < 9 $.
Ответ: $ x \in (0; 9) $.

6.43 a) $\log_2 x + 2 \log_4 x + 3 \log_8 x \ge 6;$

б) $\log_3 x + 2 \log_9 x + 3 \log_{27} x \le 3;$

в) $3 \log_{\sqrt{2}} x - 4 \log_2 x + 4 \log_4 x \ge 8;$

г) $5 \log_{\sqrt{3}} x - 4 \log_{\sqrt{3}} x + 4 \log_9 x \le 8.$

а) $\log_2 x + 2 \log_4 x + 3 \log_8 x \ge 6$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к одному основанию, в данном случае к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$
$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$

3. Подставим преобразованные логарифмы в исходное неравенство:
$\log_2 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} \log_2 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} \log_2 x) \ge 6$

4. Упростим выражение:
$\log_2 x + \log_2 x + \log_2 x \ge 6$
$3 \log_2 x \ge 6$
$\log_2 x \ge 2$

5. Решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x \ge 2^2$
$x \ge 4$

6. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение. Решение $x \ge 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

б) $\log_3 x + 2 \log_9 x + 3 \log_{27} x \le 3$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к основанию 3:
$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$
$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$

3. Подставим в неравенство:
$\log_3 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} \log_3 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} \log_3 x) \le 3$

4. Упростим:
$\log_3 x + \log_3 x + \log_3 x \le 3$
$3 \log_3 x \le 3$
$\log_3 x \le 1$

5. Решим неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x \le 3^1$
$x \le 3$

6. Совместим с ОДЗ ($x > 0$). Получаем систему:
$\begin{cases} x \le 3 \\ x > 0 \end{cases}$
Решением является $0 < x \le 3$.

Ответ: $x \in (0; 3]$.

в) $3 \log_{\sqrt{2}} x - 4 \log_2 x + 4 \log_4 x \ge 8$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к основанию 2:
$\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_2 x = 2 \log_2 x$
$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$

3. Подставим в неравенство:
$3 \cdot (2 \log_2 x) - 4 \log_2 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} \log_2 x) \ge 8$

4. Упростим выражение:
$6 \log_2 x - 4 \log_2 x + 2 \log_2 x \ge 8$
$4 \log_2 x \ge 8$
$\log_2 x \ge 2$

5. Решим неравенство. Основание $2 > 1$, знак сохраняется:
$x \ge 2^2$
$x \ge 4$

6. Решение $x \ge 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

г) $5 \log_{\sqrt[3]{3}} x - 4 \log_{\sqrt{3}} x + 4 \log_9 x \le 8$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к основанию 3:
$\log_{\sqrt[3]{3}} x = \log_{3^{1/3}} x = \frac{1}{1/3} \log_3 x = 3 \log_3 x$
$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$
$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$

3. Подставим в неравенство:
$5 \cdot (3 \log_3 x) - 4 \cdot (2 \log_3 x) + 4 \cdot (\frac{1}{2} \log_3 x) \le 8$

4. Упростим выражение:
$15 \log_3 x - 8 \log_3 x + 2 \log_3 x \le 8$
$9 \log_3 x \le 8$
$\log_3 x \le \frac{8}{9}$

5. Решим неравенство. Основание $3 > 1$, знак сохраняется:
$x \le 3^{8/9}$

6. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le 3^{8/9}$. Значение $3^{8/9}$ можно также записать как $\sqrt[9]{3^8}$ или $\sqrt[9]{6561}$.

Ответ: $x \in (0; 3^{8/9}]$.

6.44 a) $\log_2 x + \log_3 x < \log_3 6$;

б) $\log_3 x + \log_4 x > \log_4 12$;

в) $2 \log_5 x - \log_2 x > \log_2 0.8$;

г) $\log_2 x - 2 \log_3 x < \log_3 0.75$.

а) $\log_2 x + \log_3 x < \log_3 6$

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Для решения неравенства, в котором логарифмы имеют разные основания, приведем их к одному основанию, например, к натуральному логарифму $\ln$, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$.

$\frac{\ln x}{\ln 2} + \frac{\ln x}{\ln 3} < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\ln x \left( \frac{\ln 3 + \ln 2}{\ln 2 \cdot \ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

Используем свойство логарифмов $\ln a + \ln b = \ln(ab)$:

$\ln x \left( \frac{\ln (2 \cdot 3)}{\ln 2 \cdot \ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

$\ln x \left( \frac{\ln 6}{\ln 2 \cdot \ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

Поскольку $6>1$ и $3>1$, то $\ln 6 > 0$ и $\ln 3 > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\frac{\ln 6}{\ln 3}$, знак неравенства при этом не изменится:

$\ln x \cdot \frac{1}{\ln 2} < 1$

$\ln x < \ln 2$

Так как логарифмическая функция $y = \ln x$ является возрастающей, то из $\ln x < \ln 2$ следует, что $x < 2$.

4. Учет ОДЗ: Совмещая полученное решение $x < 2$ с ОДЗ $x > 0$, получаем итоговый интервал $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

б) $\log_3 x + \log_4 x > \log_4 12$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Приведем все логарифмы к натуральному основанию $\ln$.

$\frac{\ln x}{\ln 3} + \frac{\ln x}{\ln 4} > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{1}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

$\ln x \left( \frac{\ln 4 + \ln 3}{\ln 3 \cdot \ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

$\ln x \left( \frac{\ln (3 \cdot 4)}{\ln 3 \cdot \ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

$\ln x \left( \frac{\ln 12}{\ln 3 \cdot \ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

Разделим обе части на положительное число $\frac{\ln 12}{\ln 4}$:

$\ln x \cdot \frac{1}{\ln 3} > 1$

$\ln x > \ln 3$

Так как функция $y = \ln x$ возрастающая, то $x > 3$.

4. Учет ОДЗ: Решение $x > 3$ удовлетворяет ОДЗ $x > 0$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) $2 \log_5 x - \log_2 x > \log_2 0,8$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Приведем логарифмы к натуральному основанию $\ln$.

$2 \frac{\ln x}{\ln 5} - \frac{\ln x}{\ln 2} > \frac{\ln 0,8}{\ln 2}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{2}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 2} \right) > \frac{\ln 0,8}{\ln 2}$

Определим знак коэффициента при $\ln x$:

$\frac{2}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{2\ln 2 - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2} = \frac{\ln(2^2) - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2} = \frac{\ln 4 - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2}$

Поскольку $4 < 5$, то $\ln 4 < \ln 5$, следовательно, $\ln 4 - \ln 5 < 0$. Знаменатель $\ln 5 \cdot \ln 2$ положителен. Значит, весь коэффициент отрицателен. При делении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный.

$\ln x < \frac{\frac{\ln 0,8}{\ln 2}}{\frac{2}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 2}} = \frac{\frac{\ln 0,8}{\ln 2}}{\frac{\ln 4 - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2}} = \frac{\ln 0,8}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 5 \cdot \ln 2}{\ln 4 - \ln 5} = \frac{\ln 0,8 \cdot \ln 5}{\ln 4 - \ln 5}$

Так как $0,8 = \frac{4}{5}$, то $\ln 0,8 = \ln(\frac{4}{5}) = \ln 4 - \ln 5$.

$\ln x < \frac{(\ln 4 - \ln 5) \cdot \ln 5}{\ln 4 - \ln 5} = \ln 5$

Из $\ln x < \ln 5$ следует $x < 5$.

4. Учет ОДЗ: Совмещая решение $x < 5$ с ОДЗ $x > 0$, получаем $0 < x < 5$.

Ответ: $x \in (0; 5)$.

г) $\log_2 x - 2 \log_3 x < \log_3 0,75$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Приведем логарифмы к натуральному основанию $\ln$.

$\frac{\ln x}{\ln 2} - 2 \frac{\ln x}{\ln 3} < \frac{\ln 0,75}{\ln 3}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3} \right) < \frac{\ln 0,75}{\ln 3}$

Определим знак коэффициента при $\ln x$:

$\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{\ln 3 - 2\ln 2}{\ln 2 \cdot \ln 3} = \frac{\ln 3 - \ln(2^2)}{\ln 2 \cdot \ln 3} = \frac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 2 \cdot \ln 3}$

Поскольку $3 < 4$, то $\ln 3 < \ln 4$, следовательно, $\ln 3 - \ln 4 < 0$. Значит, коэффициент отрицателен, и при делении на него знак неравенства изменится на противоположный.

$\ln x > \frac{\frac{\ln 0,75}{\ln 3}}{\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3}} = \frac{\frac{\ln 0,75}{\ln 3}}{\frac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 2 \cdot \ln 3}} = \frac{\ln 0,75}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 3 - \ln 4} = \frac{\ln 0,75 \cdot \ln 2}{\ln(3/4)}$

Так как $0,75 = \frac{3}{4}$, то $\ln 0,75 = \ln(\frac{3}{4})$.

$\ln x > \frac{\ln(3/4) \cdot \ln 2}{\ln(3/4)} = \ln 2$

Из $\ln x > \ln 2$ следует $x > 2$.

4. Учет ОДЗ: Решение $x > 2$ удовлетворяет ОДЗ $x > 0$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.