Номер 6.42, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.42, страница 181.

6.42 a) $ \log_2 x + \log_4 x + \log_{16} x > 3,5; $

б) $ \log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x < \frac{11}{3}. $

а) $ \log_{2} x + \log_{4} x + \log_{16} x > 3,5 $

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2. Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $.
$ \log_{4} x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_{2} x $
$ \log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_{2} x $

3. Подставим эти выражения обратно в неравенство:
$ \log_{2} x + \frac{1}{2} \log_{2} x + \frac{1}{4} \log_{2} x > 3,5 $

4. Вынесем $ \log_{2} x $ за скобки и представим 3,5 в виде обыкновенной дроби $ \frac{7}{2} $:
$ \log_{2} x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) > \frac{7}{2} $
$ \log_{2} x (\frac{4+2+1}{4}) > \frac{7}{2} $
$ \log_{2} x \cdot \frac{7}{4} > \frac{7}{2} $

5. Разделим обе части неравенства на $ \frac{7}{4} $ (так как это положительное число, знак неравенства не меняется):
$ \log_{2} x > \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} $
$ \log_{2} x > 2 $

6. Решим полученное простейшее логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$ x > 2^2 $
$ x > 4 $

7. Сравниваем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Решение $ x > 4 $ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x \in (4; +\infty) $.

б) $ \log_{3} x + \log_{9} x + \log_{27} x < \frac{11}{3} $

1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 3, используя то же свойство, что и в пункте а):
$ \log_{9} x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_{3} x $
$ \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_{3} x $

3. Подставим выражения в исходное неравенство:
$ \log_{3} x + \frac{1}{2} \log_{3} x + \frac{1}{3} \log_{3} x < \frac{11}{3} $

4. Вынесем $ \log_{3} x $ за скобки:
$ \log_{3} x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) < \frac{11}{3} $
$ \log_{3} x (\frac{6+3+2}{6}) < \frac{11}{3} $
$ \log_{3} x \cdot \frac{11}{6} < \frac{11}{3} $

5. Разделим обе части на положительное число $ \frac{11}{6} $, знак неравенства не изменится:
$ \log_{3} x < \frac{11}{3} \cdot \frac{6}{11} $
$ \log_{3} x < 2 $

6. Решим простейшее логарифмическое неравенство. Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$ x < 3^2 $
$ x < 9 $

7. Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x > 0$). Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$ \begin{cases} x < 9 \\ x > 0 \end{cases} $
Решением этой системы является интервал $ 0 < x < 9 $.
Ответ: $ x \in (0; 9) $.