Номер 6.48, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.48, страница 185.

6.48 а) $125 \cdot 3^{2x-7} - 27 \cdot 5^{2x-7} > 0;$

б) $81 \cdot 5^{7x-5} - 25 \cdot 9^{7x-5} < 0;$

В) $72 \cdot 5^{4x+2} - 50 \cdot 6^{4x+2} < 0;$

Г) $162 \cdot 2^{3x+1} - 32 \cdot 3^{3x+1} > 0;$

Д) $4 \cdot 9^{6x-4} - 9 \cdot 6^{6x-4} > 0;$

е) $27 \cdot 4^{2x-1} - 8 \cdot 6^{2x-1} < 0.$

а) Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:

$125 \cdot 3^{2x-7} > 27 \cdot 5^{2x-7}$

Разделим обе части неравенства на $5^{2x-7}$. Так как $5^{2x-7} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не меняется:

$125 \cdot \frac{3^{2x-7}}{5^{2x-7}} > 27$

$125 \cdot (\frac{3}{5})^{2x-7} > 27$

Теперь разделим обе части на 125:

$(\frac{3}{5})^{2x-7} > \frac{27}{125}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{27}{125} = \frac{3^3}{5^3} = (\frac{3}{5})^3$

Получаем неравенство:

$(\frac{3}{5})^{2x-7} > (\frac{3}{5})^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 7 < 3$

$2x < 10$

$x < 5$

Ответ: $(-\infty; 5)$.

б) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$81 \cdot 5^{7x-5} < 25 \cdot 9^{7x-5}$

Разделим обе части на $9^{7x-5}$ (положительное выражение) и на 81:

$\frac{5^{7x-5}}{9^{7x-5}} < \frac{25}{81}$

$(\frac{5}{9})^{7x-5} < \frac{25}{81}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{9}$:

$\frac{25}{81} = \frac{5^2}{9^2} = (\frac{5}{9})^2$

Получаем неравенство:

$(\frac{5}{9})^{7x-5} < (\frac{5}{9})^2$

Основание $0 < \frac{5}{9} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей, и при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$7x - 5 > 2$

$7x > 7$

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.

в) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$72 \cdot 5^{4x+2} < 50 \cdot 6^{4x+2}$

Разделим обе части на $6^{4x+2}$ (положительное выражение) и на 72:

$(\frac{5}{6})^{4x+2} < \frac{50}{72}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{50}{72} = \frac{25}{36}$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{6}$:

$\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$

Получаем неравенство:

$(\frac{5}{6})^{4x+2} < (\frac{5}{6})^2$

Основание $0 < \frac{5}{6} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$4x + 2 > 2$

$4x > 0$

$x > 0$

Ответ: $(0; +\infty)$.

г) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$162 \cdot 2^{3x+1} > 32 \cdot 3^{3x+1}$

Разделим обе части на $3^{3x+1}$ (положительное выражение) и на 162:

$(\frac{2}{3})^{3x+1} > \frac{32}{162}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{32}{162} = \frac{16}{81}$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{3})^{3x+1} > (\frac{2}{3})^4$

Основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$3x + 1 < 4$

$3x < 3$

$x < 1$

Ответ: $(-\infty; 1)$.

д) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$4 \cdot 9^{6x-4} > 9 \cdot 6^{6x-4}$

Разделим обе части на $6^{6x-4}$ (положительное выражение) и на 4:

$(\frac{9}{6})^{6x-4} > \frac{9}{4}$

Упростим основание степени: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

$(\frac{3}{2})^{6x-4} > \frac{9}{4}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{2}$:

$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$

Получаем неравенство:

$(\frac{3}{2})^{6x-4} > (\frac{3}{2})^2$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$6x - 4 > 2$

$6x > 6$

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.

е) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$27 \cdot 4^{2x-1} < 8 \cdot 6^{2x-1}$

Разделим обе части на $6^{2x-1}$ (положительное выражение) и на 27:

$(\frac{4}{6})^{2x-1} < \frac{8}{27}$

Упростим основание степени: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$(\frac{2}{3})^{2x-1} < \frac{8}{27}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{3})^{2x-1} < (\frac{2}{3})^3$

Основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$2x - 1 > 3$

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $(2; +\infty)$.