Номер 6.45, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.45, страница 185.

Решите неравенство (6.45—6.62):

6.45 a) $5^{3x+5} > 25;$

б) $6^{6x-4} < 36;$

в) $(\frac{2}{5})^{x-3} > \frac{8}{125};$

г) $(\frac{3}{5})^{3x-7} < \frac{9}{25}.$

а) $5^{3x+5} > 25$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим число 25 как степень с основанием 5:

$25 = 5^2$

Теперь неравенство выглядит так:

$5^{3x+5} > 5^2$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$3x + 5 > 2$

Решим это линейное неравенство:

$3x > 2 - 5$

$3x > -3$

$x > \frac{-3}{3}$

$x > -1$

Решение можно записать в виде интервала: $x \in (-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) $6^{6x-4} < 36$

Приведем обе части неравенства к основанию 6.

Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Неравенство принимает вид:

$6^{6x-4} < 6^2$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция $y=6^t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$6x - 4 < 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$6x < 2 + 4$

$6x < 6$

$x < \frac{6}{6}$

$x < 1$

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

в) $(\frac{2}{5})^{x-3} > \frac{8}{125}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{5}$.

Представим дробь $\frac{8}{125}$ как степень с основанием $\frac{2}{5}$:

$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = (\frac{2}{5})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{5})^{x-3} > (\frac{2}{5})^3$

Основание степени $a = \frac{2}{5}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x - 3 < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$x < 3 + 3$

$x < 6$

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

г) $(\frac{3}{5})^{3x-7} < \frac{9}{25}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{3}{5}$.

Представим дробь $\frac{9}{25}$ как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = (\frac{3}{5})^2$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{5})^{3x-7} < (\frac{3}{5})^2$

Основание степени $a = \frac{3}{5}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{3}{5})^t$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 7 > 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x > 2 + 7$

$3x > 9$

$x > \frac{9}{3}$

$x > 3$

Решение в виде интервала: $x \in (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.