Номер 6.47, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.47, страница 185.

6.47* a) $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{81}\right)^{3-2x} < 9$;

б) $\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{4x-3} > 32$;

В) $3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} < \frac{1}{9}$;

Г) $\frac{0,5}{(\sqrt{2})^{3x-4}} > 4$.

а) Запишем исходное неравенство: $ \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{81})^{3-2x} < 9 $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 3.
$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, $ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} $, $ 9 = 3^2 $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ 3^{-1} \cdot (3^{-4})^{3-2x} < 3^2 $.
Упростим левую часть, используя свойства степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ 3^{-1} \cdot 3^{-4(3-2x)} < 3^2 $
$ 3^{-1} \cdot 3^{-12+8x} < 3^2 $
$ 3^{-1-12+8x} < 3^2 $
$ 3^{8x-13} < 3^2 $.
Так как основание степени $ 3 > 1 $, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$ 8x - 13 < 2 $
$ 8x < 15 $
$ x < \frac{15}{8} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{15}{8}) $.

б) Запишем исходное неравенство: $ \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{8})^{4x-3} > 32 $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 2.
$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $, $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $, $ 32 = 2^5 $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ 2^{-2} \cdot (2^{-3})^{4x-3} > 2^5 $.
Упростим левую часть:
$ 2^{-2} \cdot 2^{-3(4x-3)} > 2^5 $
$ 2^{-2} \cdot 2^{-12x+9} > 2^5 $
$ 2^{-2-12x+9} > 2^5 $
$ 2^{-12x+7} > 2^5 $.
Так как основание степени $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ -12x + 7 > 5 $
$ -12x > 5 - 7 $
$ -12x > -2 $.
Разделим обе части на -12 и сменим знак неравенства на противоположный:
$ x < \frac{-2}{-12} $
$ x < \frac{1}{6} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{1}{6}) $.

в) Запишем исходное неравенство: $ 3 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^{2-3x} < \frac{1}{9} $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 3.
$ 3 = 3^1 $, $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2} $, $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ 3^1 \cdot (3^{-1/2})^{2-3x} < 3^{-2} $.
Упростим левую часть:
$ 3^1 \cdot 3^{(-1/2)(2-3x)} < 3^{-2} $
$ 3^1 \cdot 3^{-1+\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $
$ 3^{1-1+\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $
$ 3^{\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $.
Так как основание степени $ 3 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ \frac{3}{2}x < -2 $
$ x < -2 \cdot \frac{2}{3} $
$ x < -\frac{4}{3} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) $.

г) Запишем исходное неравенство: $ \frac{0,5}{(\sqrt{2})^{3x-4}} > 4 $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 2.
$ 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $, $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $, $ 4 = 2^2 $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ \frac{2^{-1}}{(2^{1/2})^{3x-4}} > 2^2 $.
Упростим левую часть, используя свойства степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{2^{-1}}{2^{(1/2)(3x-4)}} > 2^2 $
$ \frac{2^{-1}}{2^{\frac{3}{2}x-2}} > 2^2 $
$ 2^{-1-(\frac{3}{2}x-2)} > 2^2 $
$ 2^{-1-\frac{3}{2}x+2} > 2^2 $
$ 2^{1-\frac{3}{2}x} > 2^2 $.
Так как основание степени $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ 1 - \frac{3}{2}x > 2 $
$ -\frac{3}{2}x > 2 - 1 $
$ -\frac{3}{2}x > 1 $.
Умножим обе части на $ -\frac{2}{3} $ и сменим знак неравенства на противоположный:
$ x < 1 \cdot (-\frac{2}{3}) $
$ x < -\frac{2}{3} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) $.