Номер 6.41, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.41, страница 181.

6.41 a) $5 \log_{2} x > 20$;

б) $-4 \log_{5} x < -12$;

в) $3 \log_{7} x \ge 6$;

г) $3 \log_{0,2} x > -6$;

д) $-6 \log_{0,5} x < -6$;

е) $-3 \log_{0,25} x \le 6.$

а) $5 \log_2 x > 20$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):
$\log_2 x > \frac{20}{5}$
$\log_2 x > 4$
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $4 = \log_2 2^4 = \log_2 16$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2 16$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак:
$x > 16$.
Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговый результат: $x > 16$.
Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

б) $-4 \log_5 x < -12$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_5 x > \frac{-12}{-4}$
$\log_5 x > 3$
Представим 3 в виде логарифма по основанию 5: $3 = \log_5 5^3 = \log_5 125$.
Получаем неравенство: $\log_5 x > \log_5 125$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$x > 125$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $x > 125$.
Ответ: $x \in (125; +\infty)$.

в) $3 \log_7 x \geq 6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 3:
$\log_7 x \geq \frac{6}{3}$
$\log_7 x \geq 2$
Представим 2 в виде логарифма по основанию 7: $2 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.
Получаем неравенство: $\log_7 x \geq \log_7 49$.
Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x \geq 49$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $x \geq 49$.
Ответ: $x \in [49; +\infty)$.

г) $3 \log_{0.2} x > -6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 3:
$\log_{0.2} x > \frac{-6}{3}$
$\log_{0.2} x > -2$
Представим -2 в виде логарифма по основанию 0.2: $-2 = \log_{0.2} (0.2)^{-2} = \log_{0.2} (\frac{1}{5})^{-2} = \log_{0.2} 5^2 = \log_{0.2} 25$.
Получаем неравенство: $\log_{0.2} x > \log_{0.2} 25$.
Так как основание логарифма $0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 25$.
Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговый результат: $0 < x < 25$.
Ответ: $x \in (0; 25)$.

д) $-6 \log_{0.5} x < -6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$\log_{0.5} x > \frac{-6}{-6}$
$\log_{0.5} x > 1$
Представим 1 в виде логарифма по основанию 0.5: $1 = \log_{0.5} 0.5$.
Получаем неравенство: $\log_{0.5} x > \log_{0.5} 0.5$.
Так как основание логарифма $0.5 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 0.5$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $0 < x < 0.5$.
Ответ: $x \in (0; 0.5)$.

е) $-3 \log_{0.25} x \leq 6$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$\log_{0.25} x \geq \frac{6}{-3}$
$\log_{0.25} x \geq -2$
Представим -2 в виде логарифма по основанию 0.25: $-2 = \log_{0.25} (0.25)^{-2} = \log_{0.25} (\frac{1}{4})^{-2} = \log_{0.25} 4^2 = \log_{0.25} 16$.
Получаем неравенство: $\log_{0.25} x \geq \log_{0.25} 16$.
Так как основание логарифма $0.25 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq 16$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) даёт $0 < x \leq 16$.
Ответ: $x \in (0; 16]$.