Номер 6.44, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.44, страница 181.

6.44 a) $\log_2 x + \log_3 x < \log_3 6$;

б) $\log_3 x + \log_4 x > \log_4 12$;

в) $2 \log_5 x - \log_2 x > \log_2 0.8$;

г) $\log_2 x - 2 \log_3 x < \log_3 0.75$.

а) $\log_2 x + \log_3 x < \log_3 6$

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Для решения неравенства, в котором логарифмы имеют разные основания, приведем их к одному основанию, например, к натуральному логарифму $\ln$, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$.

$\frac{\ln x}{\ln 2} + \frac{\ln x}{\ln 3} < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\ln x \left( \frac{\ln 3 + \ln 2}{\ln 2 \cdot \ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

Используем свойство логарифмов $\ln a + \ln b = \ln(ab)$:

$\ln x \left( \frac{\ln (2 \cdot 3)}{\ln 2 \cdot \ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

$\ln x \left( \frac{\ln 6}{\ln 2 \cdot \ln 3} \right) < \frac{\ln 6}{\ln 3}$

Поскольку $6>1$ и $3>1$, то $\ln 6 > 0$ и $\ln 3 > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\frac{\ln 6}{\ln 3}$, знак неравенства при этом не изменится:

$\ln x \cdot \frac{1}{\ln 2} < 1$

$\ln x < \ln 2$

Так как логарифмическая функция $y = \ln x$ является возрастающей, то из $\ln x < \ln 2$ следует, что $x < 2$.

4. Учет ОДЗ: Совмещая полученное решение $x < 2$ с ОДЗ $x > 0$, получаем итоговый интервал $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

б) $\log_3 x + \log_4 x > \log_4 12$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Приведем все логарифмы к натуральному основанию $\ln$.

$\frac{\ln x}{\ln 3} + \frac{\ln x}{\ln 4} > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{1}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

$\ln x \left( \frac{\ln 4 + \ln 3}{\ln 3 \cdot \ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

$\ln x \left( \frac{\ln (3 \cdot 4)}{\ln 3 \cdot \ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

$\ln x \left( \frac{\ln 12}{\ln 3 \cdot \ln 4} \right) > \frac{\ln 12}{\ln 4}$

Разделим обе части на положительное число $\frac{\ln 12}{\ln 4}$:

$\ln x \cdot \frac{1}{\ln 3} > 1$

$\ln x > \ln 3$

Так как функция $y = \ln x$ возрастающая, то $x > 3$.

4. Учет ОДЗ: Решение $x > 3$ удовлетворяет ОДЗ $x > 0$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) $2 \log_5 x - \log_2 x > \log_2 0,8$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Приведем логарифмы к натуральному основанию $\ln$.

$2 \frac{\ln x}{\ln 5} - \frac{\ln x}{\ln 2} > \frac{\ln 0,8}{\ln 2}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{2}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 2} \right) > \frac{\ln 0,8}{\ln 2}$

Определим знак коэффициента при $\ln x$:

$\frac{2}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{2\ln 2 - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2} = \frac{\ln(2^2) - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2} = \frac{\ln 4 - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2}$

Поскольку $4 < 5$, то $\ln 4 < \ln 5$, следовательно, $\ln 4 - \ln 5 < 0$. Знаменатель $\ln 5 \cdot \ln 2$ положителен. Значит, весь коэффициент отрицателен. При делении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный.

$\ln x < \frac{\frac{\ln 0,8}{\ln 2}}{\frac{2}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 2}} = \frac{\frac{\ln 0,8}{\ln 2}}{\frac{\ln 4 - \ln 5}{\ln 5 \cdot \ln 2}} = \frac{\ln 0,8}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 5 \cdot \ln 2}{\ln 4 - \ln 5} = \frac{\ln 0,8 \cdot \ln 5}{\ln 4 - \ln 5}$

Так как $0,8 = \frac{4}{5}$, то $\ln 0,8 = \ln(\frac{4}{5}) = \ln 4 - \ln 5$.

$\ln x < \frac{(\ln 4 - \ln 5) \cdot \ln 5}{\ln 4 - \ln 5} = \ln 5$

Из $\ln x < \ln 5$ следует $x < 5$.

4. Учет ОДЗ: Совмещая решение $x < 5$ с ОДЗ $x > 0$, получаем $0 < x < 5$.

Ответ: $x \in (0; 5)$.

г) $\log_2 x - 2 \log_3 x < \log_3 0,75$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразование неравенства: Приведем логарифмы к натуральному основанию $\ln$.

$\frac{\ln x}{\ln 2} - 2 \frac{\ln x}{\ln 3} < \frac{\ln 0,75}{\ln 3}$

3. Решение неравенства: Вынесем $\ln x$ за скобки:

$\ln x \left( \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3} \right) < \frac{\ln 0,75}{\ln 3}$

Определим знак коэффициента при $\ln x$:

$\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{\ln 3 - 2\ln 2}{\ln 2 \cdot \ln 3} = \frac{\ln 3 - \ln(2^2)}{\ln 2 \cdot \ln 3} = \frac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 2 \cdot \ln 3}$

Поскольку $3 < 4$, то $\ln 3 < \ln 4$, следовательно, $\ln 3 - \ln 4 < 0$. Значит, коэффициент отрицателен, и при делении на него знак неравенства изменится на противоположный.

$\ln x > \frac{\frac{\ln 0,75}{\ln 3}}{\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3}} = \frac{\frac{\ln 0,75}{\ln 3}}{\frac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 2 \cdot \ln 3}} = \frac{\ln 0,75}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 3 - \ln 4} = \frac{\ln 0,75 \cdot \ln 2}{\ln(3/4)}$

Так как $0,75 = \frac{3}{4}$, то $\ln 0,75 = \ln(\frac{3}{4})$.

$\ln x > \frac{\ln(3/4) \cdot \ln 2}{\ln(3/4)} = \ln 2$

Из $\ln x > \ln 2$ следует $x > 2$.

4. Учет ОДЗ: Решение $x > 2$ удовлетворяет ОДЗ $x > 0$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.