Номер 6.50, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.50, страница 185.

6.50 а) $3^{x+4} + 3^{-x-3} > 4;$

В) $8^x + 2^{4-3x} \ge 17;$

Д) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-x-3} \le 4;$

б) $4^{x-1} + 2^{6-2x} < 10;$

Г) $9^{x-1} + 3^{5-2x} \le 28;$

е) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-4} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-x+2} \ge 10.$

а) $3^{x+4} + 3^{-x-3} > 4$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^x \cdot 3^4 + 3^{-x} \cdot 3^{-3} > 4$

$81 \cdot 3^x + \frac{1}{3^x \cdot 3^3} > 4$

$81 \cdot 3^x + \frac{1}{27 \cdot 3^x} > 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$81t + \frac{1}{27t} > 4$

Умножим обе части неравенства на $27t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не изменится.

$81t \cdot 27t + 1 > 4 \cdot 27t$

$2187t^2 + 1 > 108t$

$2187t^2 - 108t + 1 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2187t^2 - 108t + 1 = 0$:

Дискриминант $D = (-108)^2 - 4 \cdot 2187 \cdot 1 = 11664 - 8748 = 2916 = 54^2$.

$t_1 = \frac{108 - 54}{2 \cdot 2187} = \frac{54}{4374} = \frac{1}{81}$

$t_2 = \frac{108 + 54}{2 \cdot 2187} = \frac{162}{4374} = \frac{1}{27}$

Так как ветви параболы $y = 2187t^2 - 108t + 1$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t < \frac{1}{81}$ или $t > \frac{1}{27}$. С учетом условия $t > 0$, получаем:

$0 < t < \frac{1}{81}$ или $t > \frac{1}{27}$.

Вернемся к замене $t = 3^x$:

1) $3^x < \frac{1}{81} \Rightarrow 3^x < 3^{-4} \Rightarrow x < -4$.

2) $3^x > \frac{1}{27} \Rightarrow 3^x > 3^{-3} \Rightarrow x > -3$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty)$.

б) $4^{x-1} + 2^{6-2x} < 10$

Приведем степени к одному основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$(2^2)^{x-1} + 2^{6-2x} < 10$

$2^{2x-2} + 2^{6-2x} < 10$

$2^{2x} \cdot 2^{-2} + 2^6 \cdot 2^{-2x} < 10$

$\frac{1}{4} \cdot 2^{2x} + 64 \cdot \frac{1}{2^{2x}} < 10$

Сделаем замену $t = 2^{2x}$, где $t > 0$.

$\frac{t}{4} + \frac{64}{t} < 10$

Умножим обе части на $4t > 0$:

$t^2 + 256 < 40t$

$t^2 - 40t + 256 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 40t + 256 = 0$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 1600 - 1024 = 576 = 24^2$.

$t_1 = \frac{40 - 24}{2} = 8$

$t_2 = \frac{40 + 24}{2} = 32$

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $8 < t < 32$.

Выполним обратную замену $t = 2^{2x}$:

$8 < 2^{2x} < 32$

$2^3 < 2^{2x} < 2^5$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$3 < 2x < 5$

$\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$

Ответ: $x \in (1.5; 2.5)$.

в) $8^x + 2^{4-3x} \ge 17$

Приведем степени к основанию 2, так как $8=2^3$:

$(2^3)^x + 2^{4-3x} \ge 17$

$2^{3x} + 2^4 \cdot 2^{-3x} \ge 17$

$2^{3x} + \frac{16}{2^{3x}} \ge 17$

Сделаем замену $t = 2^{3x}$, где $t > 0$.

$t + \frac{16}{t} \ge 17$

Умножим на $t > 0$:

$t^2 + 16 \ge 17t$

$t^2 - 17t + 16 \ge 0$

Корни уравнения $t^2 - 17t + 16 = 0$ по теореме Виета равны $t_1=1$ и $t_2=16$.

Неравенство $(t-1)(t-16) \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 16$.

Вернемся к замене $t = 2^{3x}$:

1) $2^{3x} \le 1 \Rightarrow 2^{3x} \le 2^0 \Rightarrow 3x \le 0 \Rightarrow x \le 0$.

2) $2^{3x} \ge 16 \Rightarrow 2^{3x} \ge 2^4 \Rightarrow 3x \ge 4 \Rightarrow x \ge \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

г) $9^{x-1} + 3^{5-2x} \le 28$

Приведем степени к основанию 3, так как $9=3^2$:

$(3^2)^{x-1} + 3^{5-2x} \le 28$

$3^{2x-2} + 3^{5-2x} \le 28$

$\frac{3^{2x}}{3^2} + \frac{3^5}{3^{2x}} \le 28$

$\frac{3^{2x}}{9} + \frac{243}{3^{2x}} \le 28$

Сделаем замену $t = 3^{2x}$, где $t > 0$.

$\frac{t}{9} + \frac{243}{t} \le 28$

Умножим на $9t > 0$:

$t^2 + 2187 \le 252t$

$t^2 - 252t + 2187 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 252t + 2187 = 0$:

$D = (-252)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2187 = 63504 - 8748 = 54756 = 234^2$.

$t_1 = \frac{252 - 234}{2} = 9$

$t_2 = \frac{252 + 234}{2} = 243$

Неравенство выполняется между корнями: $9 \le t \le 243$.

Вернемся к замене $t = 3^{2x}$:

$9 \le 3^{2x} \le 243$

$3^2 \le 3^{2x} \le 3^5$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$2 \le 2x \le 5$

$1 \le x \le \frac{5}{2}$

Ответ: $x \in [1; 2.5]$.

д) $(\frac{1}{3})^{x+2} + (\frac{1}{3})^{-x-3} \le 4$

Используем свойство $(\frac{1}{a})^b = a^{-b}$:

$3^{-(x+2)} + 3^{-(-x-3)} \le 4$

$3^{-x-2} + 3^{x+3} \le 4$

$\frac{3^{-x}}{3^2} + 3^x \cdot 3^3 \le 4$

$\frac{1}{9 \cdot 3^x} + 27 \cdot 3^x \le 4$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$\frac{1}{9t} + 27t \le 4$

Умножим на $9t > 0$:

$1 + 243t^2 \le 36t$

$243t^2 - 36t + 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $243t^2 - 36t + 1 = 0$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 243 \cdot 1 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$.

$t_1 = \frac{36 - 18}{2 \cdot 243} = \frac{18}{486} = \frac{1}{27}$

$t_2 = \frac{36 + 18}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

Неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{27} \le t \le \frac{1}{9}$.

Вернемся к замене $t = 3^x$:

$\frac{1}{27} \le 3^x \le \frac{1}{9}$

$3^{-3} \le 3^x \le 3^{-2}$

Так как основание $3 > 1$, получаем:

$-3 \le x \le -2$

Ответ: $x \in [-3; -2]$.

е) $(\frac{1}{4})^{x-4} + (\frac{1}{4})^{-x+2} \ge 10$

Используем свойство $(\frac{1}{a})^b = a^{-b}$:

$4^{-(x-4)} + 4^{-(-x+2)} \ge 10$

$4^{-x+4} + 4^{x-2} \ge 10$

$\frac{4^4}{4^x} + \frac{4^x}{4^2} \ge 10$

$\frac{256}{4^x} + \frac{4^x}{16} \ge 10$

Сделаем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.

$\frac{256}{t} + \frac{t}{16} \ge 10$

Умножим на $16t > 0$:

$256 \cdot 16 + t^2 \ge 160t$

$4096 + t^2 \ge 160t$

$t^2 - 160t + 4096 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 160t + 4096 = 0$:

$D = (-160)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4096 = 25600 - 16384 = 9216 = 96^2$.

$t_1 = \frac{160 - 96}{2} = 32$

$t_2 = \frac{160 + 96}{2} = 128$

Неравенство выполняется при $t \le 32$ или $t \ge 128$.

Вернемся к замене $t = 4^x = 2^{2x}$:

1) $2^{2x} \le 32 \Rightarrow 2^{2x} \le 2^5 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{2}$.

2) $2^{2x} \ge 128 \Rightarrow 2^{2x} \ge 2^7 \Rightarrow 2x \ge 7 \Rightarrow x \ge \frac{7}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5] \cup [3.5; +\infty)$.