Номер 6.57, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного - номер 6.57, страница 186.

Условие.

6.57 a) $\frac{1}{2^x-1} + 2^x > 3;$

б) $\frac{-2}{2^x-2} + 2^x < 3;$

в) $\frac{4}{9^x-1} + 9^x > 5;$

г) $\frac{12}{9^x-3} + 7 > 9^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \frac{1}{2^x - 1} + 2^x > 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ 2^x - 1 \neq 0 $, что означает $ 2^x \neq 1 $, и следовательно $ x \neq 0 $. В терминах переменной $t$, это $ t - 1 \neq 0 $, то есть $ t \neq 1 $.

Перепишем неравенство с новой переменной:

$ \frac{1}{t - 1} + t > 3 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{t - 1} + t - 3 > 0 $

$ \frac{1 + (t - 3)(t - 1)}{t - 1} > 0 $

$ \frac{1 + t^2 - t - 3t + 3}{t - 1} > 0 $

$ \frac{t^2 - 4t + 4}{t - 1} > 0 $

Числитель является полным квадратом: $ t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 $.

$ \frac{(t - 2)^2}{t - 1} > 0 $

Данное неравенство решаем методом интервалов. Числитель $ (t - 2)^2 \ge 0 $ при всех $t$. Неравенство строгое, поэтому числитель не должен быть равен нулю, то есть $ (t-2)^2 \neq 0 $, что дает $ t \neq 2 $.

Чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть положительным: $ t - 1 > 0 $, то есть $ t > 1 $.

Таким образом, мы получаем условия для $t$: $ t > 1 $ и $ t \neq 2 $. Это соответствует объединению интервалов $ (1, 2) \cup (2, \infty) $.

Теперь выполним обратную замену $ t = 2^x $.

1) $ 1 < t < 2 \implies 1 < 2^x < 2 \implies 2^0 < 2^x < 2^1 \implies 0 < x < 1 $.

2) $ t > 2 \implies 2^x > 2 \implies 2^x > 2^1 \implies x > 1 $.

Объединяя эти решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x \in (0, 1) \cup (1, \infty) $.

б) $ \frac{-2}{2^x - 2} + 2^x < 3 $

Пусть $ t = 2^x $, где $ t > 0 $.

ОДЗ: $ 2^x - 2 \neq 0 \implies 2^x \neq 2 \implies x \neq 1 $. В терминах $t$, это $ t \neq 2 $.

Подставляем $t$ в неравенство:

$ \frac{-2}{t - 2} + t < 3 $

Переносим все в левую часть:

$ \frac{-2}{t - 2} + t - 3 < 0 $

$ \frac{-2 + (t - 3)(t - 2)}{t - 2} < 0 $

$ \frac{-2 + t^2 - 5t + 6}{t - 2} < 0 $

$ \frac{t^2 - 5t + 4}{t - 2} < 0 $

Найдем корни числителя: $ t^2 - 5t + 4 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1, t_2 = 4 $. Тогда числитель раскладывается на множители $ (t - 1)(t - 4) $.

$ \frac{(t - 1)(t - 4)}{t - 2} < 0 $

Решаем методом интервалов для $t$. Критические точки: $ t=1, t=2, t=4 $. С учетом условия $ t>0 $, проверяем знаки выражения на интервалах. Выражение отрицательно на интервалах $ (0, 1) $ и $ (2, 4) $.

Таким образом, решение для $t$ это $ t \in (0, 1) \cup (2, 4) $.

Выполняем обратную замену $ t = 2^x $.

1) $ 0 < t < 1 \implies 0 < 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0 $.

2) $ 2 < t < 4 \implies 2 < 2^x < 4 \implies 2^1 < 2^x < 2^2 \implies 1 < x < 2 $.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2) $.

в) $ \frac{4}{9^x - 1} + 9^x > 5 $

Сделаем замену $ t = 9^x $, где $ t > 0 $.

ОДЗ: $ 9^x - 1 \neq 0 \implies 9^x \neq 1 \implies x \neq 0 $. В терминах $t$, это $ t \neq 1 $.

Подставляем $t$ в неравенство:

$ \frac{4}{t - 1} + t > 5 $

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$ \frac{4}{t - 1} + t - 5 > 0 $

$ \frac{4 + (t - 5)(t - 1)}{t - 1} > 0 $

$ \frac{4 + t^2 - 6t + 5}{t - 1} > 0 $

$ \frac{t^2 - 6t + 9}{t - 1} > 0 $

Числитель является полным квадратом: $ t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2 $.

$ \frac{(t - 3)^2}{t - 1} > 0 $

Так как числитель $ (t - 3)^2 $ всегда неотрицателен, для выполнения строгого неравенства он должен быть строго больше нуля, то есть $ t \neq 3 $. Чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть положительным: $ t - 1 > 0 $, то есть $ t > 1 $.

Таким образом, получаем условия для $t$: $ t > 1 $ и $ t \neq 3 $. Решением является $ t \in (1, 3) \cup (3, \infty) $.

Выполняем обратную замену $ t = 9^x $.

1) $ 1 < t < 3 \implies 1 < 9^x < 3 \implies 9^0 < 9^x < 9^{1/2} \implies 0 < x < \frac{1}{2} $.

2) $ t > 3 \implies 9^x > 3 \implies 9^x > 9^{1/2} \implies x > \frac{1}{2} $.

Объединяем решения.

Ответ: $ x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty) $.

г) $ \frac{12}{9^x - 3} + 7 > 9^x $

Пусть $ t = 9^x $, где $ t > 0 $.

ОДЗ: $ 9^x - 3 \neq 0 \implies 9^x \neq 3 \implies (3^2)^x \neq 3^1 \implies 3^{2x} \neq 3^1 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2} $. В терминах $t$, это $ t \neq 3 $.

Подставляем $t$ в неравенство:

$ \frac{12}{t - 3} + 7 > t $

Переносим все в левую часть:

$ \frac{12}{t - 3} + 7 - t > 0 $

$ \frac{12 + (7 - t)(t - 3)}{t - 3} > 0 $

$ \frac{12 + 7t - 21 - t^2 + 3t}{t - 3} > 0 $

$ \frac{-t^2 + 10t - 9}{t - 3} > 0 $

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$ \frac{t^2 - 10t + 9}{t - 3} < 0 $

Найдем корни числителя: $ t^2 - 10t + 9 = 0 $. Корни $ t_1 = 1, t_2 = 9 $. Раскладываем числитель на множители $ (t - 1)(t - 9) $.

$ \frac{(t - 1)(t - 9)}{t - 3} < 0 $

Решаем методом интервалов для $t$. Критические точки: $ t=1, t=3, t=9 $. С учетом условия $ t>0 $, проверяем знаки выражения на интервалах. Выражение отрицательно на интервалах $ (0, 1) $ и $ (3, 9) $.

Таким образом, решение для $t$ это $ t \in (0, 1) \cup (3, 9) $.

Выполняем обратную замену $ t = 9^x $.

1) $ 0 < t < 1 \implies 0 < 9^x < 1 \implies 9^x < 9^0 \implies x < 0 $.

2) $ 3 < t < 9 \implies 3 < 9^x < 9 \implies 9^{1/2} < 9^x < 9^1 \implies \frac{1}{2} < x < 1 $.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 1) $.