Номер 6.52, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.52, страница 186.

6.52 a) $\log_4(x^2 - 3x) < 1;$

В) $\log_{0.5}(x^2 + 7x) \geq -3;$

Д) $\log_5(x^2 - 2x - 3) < 1;$

Б) $\log_6(x^2 + 35x) > 2;$

Г) $\log_{0.25}(x^2 + 3x) \leq -1;$

е) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 4x - 5) \geq -1.$

а) Решим неравенство $log_4(x^2 - 3x) < 1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным.

$x^2 - 3x > 0$

$x(x - 3) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Так как основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства при потенцировании сохраняется.

$x^2 - 3x < 4^1$

$x^2 - 3x - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4, x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 4)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-1, 4) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, +\infty)))$.

Общее решение: $x \in (-1, 0) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (3, 4)$.

б) Решим неравенство $log_6(x^2 + 35x) > 2$.

1. ОДЗ: $x^2 + 35x > 0$

$x(x + 35) > 0$

Решение: $x \in (-\infty, -35) \cup (0, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $6 > 1$, знак сохраняется.

$x^2 + 35x > 6^2$

$x^2 + 35x - 36 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 35x - 36 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = -36$.

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, -36) \cup (1, +\infty)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -36) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -35) \cup (0, +\infty))$.

Общее решение: $x \in (-\infty, -36) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -36) \cup (1, +\infty)$.

в) Решим неравенство $log_{0.5}(x^2 + 7x) \ge -3$.

1. ОДЗ: $x^2 + 7x > 0$

$x(x + 7) > 0$

Решение: $x \in (-\infty, -7) \cup (0, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 + 7x \le (0.5)^{-3}$

$x^2 + 7x \le (1/2)^{-3}$

$x^2 + 7x \le 2^3$

$x^2 + 7x - 8 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = -8$.

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями включительно: $x \in [-8, 1]$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in [-8, 1] \cap ((-\infty, -7) \cup (0, +\infty))$.

Общее решение: $x \in [-8, -7) \cup (0, 1]$.

Ответ: $x \in [-8, -7) \cup (0, 1]$.

г) Решим неравенство $log_{0.25}(x^2 + 3x) \le -1$.

1. ОДЗ: $x^2 + 3x > 0$

$x(x + 3) > 0$

Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $0.25 < 1$, знак неравенства меняется.

$x^2 + 3x \ge (0.25)^{-1}$

$x^2 + 3x \ge (1/4)^{-1}$

$x^2 + 3x \ge 4$

$x^2 + 3x - 4 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = -4$.

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней включительно: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -4] \cup [1, +\infty)) \cap ((-\infty, -3) \cup (0, +\infty))$.

Общее решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

д) Решим неравенство $log_5(x^2 - 2x - 3) < 1$.

1. ОДЗ: $x^2 - 2x - 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $5 > 1$, знак сохраняется.

$x^2 - 2x - 3 < 5^1$

$x^2 - 2x - 8 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-2, 4)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in (-2, 4) \cap ((-\infty, -1) \cup (3, +\infty))$.

Общее решение: $x \in (-2, -1) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (3, 4)$.

е) Решим неравенство $log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 4x - 5) \ge -1$.

1. ОДЗ: $x^2 - 4x - 5 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$: $x_1 = 5, x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $1/7 < 1$, знак неравенства меняется.

$x^2 - 4x - 5 \le (1/7)^{-1}$

$x^2 - 4x - 5 \le 7$

$x^2 - 4x - 12 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$: $x_1 = 6, x_2 = -2$.

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями включительно: $x \in [-2, 6]$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in [-2, 6] \cap ((-\infty, -1) \cup (5, +\infty))$.

Общее решение: $x \in [-2, -1) \cup (5, 6]$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (5, 6]$.