Номер 6.56, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного - номер 6.56, страница 186.

Условие.

6.56 a) $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 \le 0;$

б) $\left(\frac{1}{9}\right)^x - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} + 27 < 0;$

в) $25^x - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0;$

г) $16^x + 4^x - 6 > 0;$

д) $(0,25)^x - 5 \cdot (0,5)^x \ge -4;$

е) $3^{2x+3} - 3^{x+1} - 2 < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 \le 0$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основанию 2:

$(2^2)^x - 3 \cdot (2^x \cdot 2^1) + 8 \le 0$

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 6t + 8 \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 8$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями (включая их):

$2 \le t \le 4$

Данный интервал удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2 \le 2^x \le 4$

$2^1 \le 2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$1 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [1; 2]$.

б) $(\frac{1}{9})^x - 4 \cdot (\frac{1}{3})^{x-1} + 27 < 0$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основанию $\frac{1}{3}$:

$((\frac{1}{3})^2)^x - 4 \cdot ((\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-1}) + 27 < 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (\frac{1}{3})^x + 27 < 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 12 \cdot (\frac{1}{3})^x + 27 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{3})^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 12t + 27 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 12t + 27 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 12t + 27$ ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями:

$3 < t < 9$

Условие $t > 0$ выполняется.

Вернемся к переменной $x$:

$3 < (\frac{1}{3})^x < 9$

$(\frac{1}{3})^{-1} < (\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^{-2}$

Так как основание степени $\frac{1}{3} < 1$, функция $y=(\frac{1}{3})^x$ убывающая, поэтому знаки неравенства для показателей степени меняются на противоположные:

$-1 > x > -2$, что равносильно $-2 < x < -1$.

Ответ: $x \in (-2; -1)$.

в) $25^x - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0$

Приведем все степени к основанию 5:

$(5^2)^x - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0$

$(5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0$

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 4t - 5 \le 0$

Корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 5$.

Решение квадратного неравенства: $-1 \le t \le 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 5$.

Возвращаемся к $x$:

$5^x \le 5$

$5^x \le 5^1$

Так как основание $5 > 1$, то $x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

г) $16^x + 4^x - 6 > 0$

Приведем все степени к основанию 4:

$(4^2)^x + 4^x - 6 > 0$

$(4^x)^2 + 4^x - 6 > 0$

Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

$t^2 + t - 6 > 0$

Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Решение квадратного неравенства: $t < -3$ или $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 2$.

Возвращаемся к $x$:

$4^x > 2$

$(2^2)^x > 2^1$

$2^{2x} > 2^1$

Так как основание $2 > 1$, то $2x > 1$, откуда $x > \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

д) $(0,25)^x - 5 \cdot (0,5)^x \ge -4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему основанию 0,5:

$(0,25)^x - 5 \cdot (0,5)^x + 4 \ge 0$

$((0,5)^2)^x - 5 \cdot (0,5)^x + 4 \ge 0$

$((0,5)^x)^2 - 5 \cdot (0,5)^x + 4 \ge 0$

Пусть $t = (0,5)^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 5t + 4 \ge 0$

Корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Решение квадратного неравенства: $t \le 1$ или $t \ge 4$.

Оба интервала удовлетворяют условию $t > 0$ (для первого $0 < t \le 1$).

Рассмотрим два случая:

1) $(0,5)^x \le 1 \implies (0,5)^x \le (0,5)^0$. Так как основание $0,5 < 1$, то $x \ge 0$.

2) $(0,5)^x \ge 4 \implies (\frac{1}{2})^x \ge 4 \implies 2^{-x} \ge 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то $-x \ge 2$, откуда $x \le -2$.

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

е) $3^{2x+3} - 3^{x+1} - 2 < 0$

Преобразуем неравенство:

$3^{2x} \cdot 3^3 - 3^x \cdot 3^1 - 2 < 0$

$27 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 2 < 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$27t^2 - 3t - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $27t^2 - 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-2) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.

$t_1 = \frac{3 - 15}{2 \cdot 27} = \frac{-12}{54} = -\frac{2}{9}$

$t_2 = \frac{3 + 15}{2 \cdot 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$

Решение квадратного неравенства: $-\frac{2}{9} < t < \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к $x$:

$3^x < \frac{1}{3}$

$3^x < 3^{-1}$

Так как основание $3 > 1$, то $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.