Номер 6.61, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.61, страница 187.

6.61 a) $\frac{2}{\lg x - \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x} > 0;$

б) $\frac{3}{\lg x + \lg 0,01} - \frac{1}{\lg x} \leq 0;$

в) $\lg x + \frac{3}{\lg x + \lg 0,01} \geq -2;$

г) $\lg x + \frac{12}{\lg x - \lg 0,01} \leq 5.$

а)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{\lg x - \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x} > 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. Знаменатели не должны равняться нулю:$ \lg x \neq 0 \implies x \neq 1 $.$ \lg x - \lg 0,1 \neq 0 $. Учитывая, что $ \lg 0,1 = \lg 10^{-1} = -1 $, получаем $ \lg x - (-1) \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0,1 $.ОДЗ: $ x \in (0; 0,1) \cup (0,1; 1) \cup (1; \infty) $.

2. Упростим неравенство, подставив значение $ \lg 0,1 = -1 $:$ \frac{2}{\lg x + 1} - \frac{1}{\lg x} > 0 $

3. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \lg x $. Неравенство примет вид:$ \frac{2}{t + 1} - \frac{1}{t} > 0 $

4. Приведем к общему знаменателю и решим полученное рациональное неравенство:$ \frac{2t - (t+1)}{t(t+1)} > 0 $$ \frac{2t - t - 1}{t(t+1)} > 0 $$ \frac{t-1}{t(t+1)} > 0 $Методом интервалов находим нули числителя ($t=1$) и знаменателя ($t=0, t=-1$). Наносим эти точки на числовую ось и определяем знаки на интервалах.Решением для $t$ является объединение интервалов: $ t \in (-1; 0) \cup (1; \infty) $.

5. Выполним обратную замену:a) $ -1 < \lg x < 0 \implies 10^{-1} < x < 10^0 \implies 0,1 < x < 1 $.б) $ \lg x > 1 \implies x > 10^1 \implies x > 10 $.Полученные интервалы входят в ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0,1; 1) \cup (10; \infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{3}{\lg x + \lg 0,01} - \frac{1}{\lg x} \le 0 $

1. ОДЗ: $x > 0$, $ \lg x \neq 0 \implies x \neq 1 $.$ \lg x + \lg 0,01 \neq 0 $. Учитывая, что $ \lg 0,01 = \lg 10^{-2} = -2 $, получаем $ \lg x - 2 \neq 0 \implies \lg x \neq 2 \implies x \neq 10^2 = 100 $.ОДЗ: $ x \in (0; 1) \cup (1; 100) \cup (100; \infty) $.

2. Упростим неравенство:$ \frac{3}{\lg x - 2} - \frac{1}{\lg x} \le 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:$ \frac{3}{t - 2} - \frac{1}{t} \le 0 $

4. Решим рациональное неравенство:$ \frac{3t - (t-2)}{t(t-2)} \le 0 $$ \frac{2t + 2}{t(t-2)} \le 0 $$ \frac{2(t+1)}{t(t-2)} \le 0 $Нуль числителя: $t = -1$. Нули знаменателя: $t=0, t=2$.Методом интервалов находим решение для $t$: $ t \in (-\infty; -1] \cup (0; 2) $.

5. Выполним обратную замену:a) $ \lg x \le -1 \implies x \le 10^{-1} \implies x \le 0,1 $. С учетом ОДЗ ($x>0$) получаем $ 0 < x \le 0,1 $.б) $ 0 < \lg x < 2 \implies 10^0 < x < 10^2 \implies 1 < x < 100 $.Данные решения соответствуют ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0; 0,1] \cup (1; 100) $.

в)

Исходное неравенство: $ \lg x + \frac{3}{\lg x + \lg 0,01} \ge -2 $

1. ОДЗ: $x > 0$.$ \lg x + \lg 0,01 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,01 = -2 $, то $ \lg x - 2 \neq 0 \implies \lg x \neq 2 \implies x \neq 100 $.ОДЗ: $ x \in (0; 100) \cup (100; \infty) $.

2. Перенесем все в левую часть и упростим:$ \lg x + 2 + \frac{3}{\lg x - 2} \ge 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:$ t + 2 + \frac{3}{t - 2} \ge 0 $

4. Решим рациональное неравенство:$ \frac{(t+2)(t-2) + 3}{t - 2} \ge 0 $$ \frac{t^2 - 4 + 3}{t - 2} \ge 0 $$ \frac{t^2 - 1}{t - 2} \ge 0 $$ \frac{(t-1)(t+1)}{t - 2} \ge 0 $Нули числителя: $t = 1, t = -1$. Нуль знаменателя: $t=2$.Методом интервалов находим решение для $t$: $ t \in [-1; 1] \cup (2; \infty) $.

5. Выполним обратную замену:a) $ -1 \le \lg x \le 1 \implies 10^{-1} \le x \le 10^1 \implies 0,1 \le x \le 10 $.б) $ \lg x > 2 \implies x > 10^2 \implies x > 100 $.Решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ x \in [0,1; 10] \cup (100; \infty) $.

г)

Исходное неравенство: $ \lg x + \frac{12}{\lg x - \lg 0,01} \le 5 $

1. ОДЗ: $x > 0$.$ \lg x - \lg 0,01 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,01 = -2 $, то $ \lg x - (-2) \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2} = 0,01 $.ОДЗ: $ x \in (0; 0,01) \cup (0,01; \infty) $.

2. Перенесем все в левую часть и упростим, используя $ \lg 0,01 = -2 $:$ \lg x + \frac{12}{\lg x + 2} - 5 \le 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:$ t - 5 + \frac{12}{t + 2} \le 0 $

4. Решим рациональное неравенство:$ \frac{(t-5)(t+2) + 12}{t + 2} \le 0 $$ \frac{t^2 + 2t - 5t - 10 + 12}{t + 2} \le 0 $$ \frac{t^2 - 3t + 2}{t + 2} \le 0 $$ \frac{(t-1)(t-2)}{t + 2} \le 0 $Нули числителя: $t = 1, t = 2$. Нуль знаменателя: $t=-2$.Методом интервалов находим решение для $t$: $ t \in (-\infty; -2) \cup [1; 2] $.

5. Выполним обратную замену:a) $ \lg x < -2 \implies x < 10^{-2} \implies x < 0,01 $. С учетом ОДЗ ($x>0$) получаем $ 0 < x < 0,01 $.б) $ 1 \le \lg x \le 2 \implies 10^1 \le x \le 10^2 \implies 10 \le x \le 100 $.Решения соответствуют ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0; 0,01) \cup [10; 100] $.