Номер 7.4, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.1. Понятие угла - номер 7.4, страница 197.

Условие.

7.4 На рисунке 75, а—е изображён угол $AOB$, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$. Сколько полных оборотов содержит угол $AOB$?

Рис. 75

г) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ также направлен по отрицательной оси y. Вращение по часовой стрелке, с двумя полными оборотами (спиралями). Полный угол $AOB$ составляет $2 \times 360^\circ = 720^\circ$ ($4\pi$ радиан). Угол $AOB$ содержит 2 полных оборота.

а) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по положительной оси x. Вращение против часовой стрелки. Полный угол $AOB$ составляет $270^\circ$ ($\frac{3\pi}{2}$ радиан). Угол $AOB$ содержит 0 полных оборотов.

в) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по положительной оси y. Вращение против часовой стрелки. Полный угол $AOB$ составляет $180^\circ$ ($\pi$ радиан). Угол $AOB$ содержит 0 полных оборотов.

д) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по отрицательной оси x. Вращение по часовой стрелке, с двумя полными оборотами (спиралями). Полный угол $AOB$ составляет $2 \times 360^\circ + 90^\circ = 810^\circ$ ($\frac{9\pi}{2}$ радиан). Угол $AOB$ содержит 2 полных оборота.

б) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по отрицательной оси x. Вращение против часовой стрелки. Полный угол $AOB$ составляет $270^\circ$ ($\frac{3\pi}{2}$ радиан). Угол $AOB$ содержит 0 полных оборотов.

е) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по положительной оси y. Вращение по часовой стрелке, с двумя полными оборотами (спиралями). Полный угол $AOB$ составляет $2 \times 360^\circ + 180^\circ = 900^\circ$ ($5\pi$ радиан). Угол $AOB$ содержит 2 полных оборота.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Начальный вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль отрицательной полуоси $y$, что соответствует углу $-90^\circ$ или $270^\circ$. Конечный вектор $\vec{OB}$ направлен вдоль положительной полуоси $y$, что соответствует углу $90^\circ$. Поворот совершается против часовой стрелки. Изображенная дуга показывает, что угол поворота меньше полного оборота ($360^\circ$). Величина угла поворота составляет $\alpha = 90^\circ - (-90^\circ) = 180^\circ$. Так как $180^\circ < 360^\circ$, угол не содержит ни одного полного оборота.

Ответ: 0

б)

Начальное и конечное положения векторов такие же, как и в пункте а). Однако спиралевидная дуга указывает, что вектор совершил один полный оборот против часовой стрелки, а затем повернулся из положения $\vec{OA}$ в положение $\vec{OB}$. Таким образом, общий угол поворота складывается из одного полного оборота ($360^\circ$) и угла поворота от $\vec{OA}$ до $\vec{OB}$ ($180^\circ$). Общий угол поворота равен $\alpha = 360^\circ + 180^\circ = 540^\circ$. Чтобы найти количество полных оборотов, нужно разделить общий угол на $360^\circ$ и взять целую часть: $N = \lfloor \frac{540^\circ}{360^\circ} \rfloor = \lfloor 1.5 \rfloor = 1$.

Ответ: 1

в)

Начальный вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль отрицательной полуоси $y$ (угол $-90^\circ$ или $270^\circ$). Конечный вектор $\vec{OB}$ направлен вдоль отрицательной полуоси $x$ (угол $180^\circ$). Поворот совершается против часовой стрелки. Угол поворота меньше полного оборота. Величина угла поворота от начального положения к конечному в положительном направлении составляет $\alpha = 180^\circ - (-90^\circ) = 270^\circ$. Так как $270^\circ < 360^\circ$, угол не содержит ни одного полного оборота.

Ответ: 0

г)

Начальный вектор $\vec{OA}$ и конечный вектор $\vec{OB}$ совпадают и направлены вдоль отрицательной полуоси $y$. Спиралевидная дуга показывает, что вектор совершил ровно один полный оборот против часовой стрелки и вернулся в исходное положение. Угол поворота составляет $\alpha = 360^\circ$. Количество полных оборотов равно $N = \frac{360^\circ}{360^\circ} = 1$.

Ответ: 1

д)

Начальный вектор $\vec{OA}$ и конечный вектор $\vec{OB}$ совпадают и направлены вдоль отрицательной полуоси $x$. Спиралевидная дуга, состоящая из двух витков, показывает, что вектор совершил ровно два полных оборота против часовой стрелки. Общий угол поворота равен $\alpha = 2 \times 360^\circ = 720^\circ$. Количество полных оборотов равно $N = \frac{720^\circ}{360^\circ} = 2$.

Ответ: 2

е)

Начальный вектор $\vec{OA}$ и конечный вектор $\vec{OB}$ совпадают и направлены вдоль отрицательной полуоси $x$. Спиралевидная дуга, состоящая из трех витков, показывает, что вектор совершил ровно три полных оборота против часовой стрелки. Общий угол поворота равен $\alpha = 3 \times 360^\circ = 1080^\circ$. Количество полных оборотов равно $N = \frac{1080^\circ}{360^\circ} = 3$.

Ответ: 3