Страница 197 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

$7.1^\circ$ Какой поворот называют полным оборотом?

7.1° Какой поворот называют полным оборотом?

Полным оборотом называют поворот точки или фигуры вокруг центра вращения, в результате которого она возвращается в свое исходное положение. Это означает, что каждая точка фигуры после поворота совпадает со своим первоначальным положением.

Угол такого поворота имеет определенную величину, которая может быть выражена в разных единицах измерения:

1. В градусной мере полный оборот соответствует углу в $360^\circ$. Это наиболее распространенная и интуитивно понятная мера. Например, если повернуть стрелку часов на $360^\circ$, она вернется в то же место, откуда начала движение.

2. В радианной мере полный оборот равен $2\pi$ радиан. Радианная мера часто используется в математическом анализе, тригонометрии и физике, так как она позволяет упростить многие формулы. Связь между градусами и радианами выражается формулой $360^\circ = 2\pi$ радиан.

Любой поворот на угол, кратный $360^\circ$ (например, $720^\circ$ или $-360^\circ$), также вернет фигуру в исходное положение, но под "полным оборотом" обычно понимают поворот именно на $360^\circ$.

Ответ: Полным оборотом называют поворот на угол $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).

7.2°

a) Какой угол называют: нулевым; положительным; отрицательным?

б) Какой угол называют углом в один градус? Сколько градусов содержит полный оборот?

а) Углы можно рассматривать как меру поворота луча вокруг его начальной точки. В зависимости от направления и величины этого поворота углы классифицируются следующим образом:
- Нулевым углом называют угол, который образуется, если поворот не совершается. В этом случае начальная и конечная стороны угла совпадают, а величина поворота равна $0$ градусов ($0^\circ$).
- Положительным углом называют угол, который образуется при повороте луча против часовой стрелки. Это направление вращения принято за стандартное положительное направление в математике.
- Отрицательным углом называют угол, который образуется при повороте луча по часовой стрелке.
Ответ: Нулевой угол — это угол величиной $0^\circ$, образуемый при отсутствии поворота. Положительный угол образуется при повороте против часовой стрелки, а отрицательный — при повороте по часовой стрелке.

б) Для измерения углов используются различные единицы, наиболее распространенной из которых является градус.
- Углом в один градус (обозначается как $1^\circ$) называют угол, равный $\frac{1}{360}$ части полного оборота. Это соответствует центральному углу в окружности, который опирается на дугу, составляющую $\frac{1}{360}$ всей окружности.
- Полный оборот представляет собой поворот, при котором луч, совершив полный круг, возвращается в свое исходное положение. Такой оборот содержит 360 градусов ($360^\circ$).
Ответ: Углом в один градус называют угол, равный $\frac{1}{360}$ части полного оборота. Полный оборот содержит $360$ градусов.

7.3° Для любого ли числа $\alpha$ существует угол, градусная мера которого равна $\alpha$?

Да, для любого действительного числа $ \alpha $ существует угол, градусная мера которого равна $ \alpha $.

В тригонометрии понятие угла рассматривается как мера поворота луча вокруг его начальной точки. Такой поворот не ограничен рамками от $ 0^\circ $ до $ 360^\circ $, как в элементарной геометрии.

Угол определяется величиной и направлением поворота из начального положения в конечное:

• Если число $ \alpha $ положительно ($ \alpha > 0 $), это соответствует повороту против часовой стрелки на $ \alpha $ градусов. Например, угол в $ 720^\circ $ означает два полных оборота против часовой стрелки. Угол в $ 400^\circ $ — это один полный оборот ($ 360^\circ $) и еще поворот на $ 40^\circ $ в том же направлении.
• Если число $ \alpha $ отрицательно ($ \alpha < 0 $), это соответствует повороту по часовой стрелке на $ |\alpha| $ градусов. Например, угол в $ -90^\circ $ — это поворот на $ 90^\circ $ по часовой стрелке.
• Если $ \alpha = 0 $, это означает отсутствие поворота (нулевой угол).

Таким образом, любому действительному числу $ \alpha $, будь оно целым, дробным, положительным, отрицательным или нулем, можно сопоставить угол как меру поворота.

Ответ: Да, существует.

7.4 На рисунке 75, а—е изображён угол $AOB$, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$. Сколько полных оборотов содержит угол $AOB$?

Рис. 75

г) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ также направлен по отрицательной оси y. Вращение по часовой стрелке, с двумя полными оборотами (спиралями). Полный угол $AOB$ составляет $2 \times 360^\circ = 720^\circ$ ($4\pi$ радиан). Угол $AOB$ содержит 2 полных оборота.

а) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по положительной оси x. Вращение против часовой стрелки. Полный угол $AOB$ составляет $270^\circ$ ($\frac{3\pi}{2}$ радиан). Угол $AOB$ содержит 0 полных оборотов.

в) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по положительной оси y. Вращение против часовой стрелки. Полный угол $AOB$ составляет $180^\circ$ ($\pi$ радиан). Угол $AOB$ содержит 0 полных оборотов.

д) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по отрицательной оси x. Вращение по часовой стрелке, с двумя полными оборотами (спиралями). Полный угол $AOB$ составляет $2 \times 360^\circ + 90^\circ = 810^\circ$ ($\frac{9\pi}{2}$ радиан). Угол $AOB$ содержит 2 полных оборота.

б) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по отрицательной оси x. Вращение против часовой стрелки. Полный угол $AOB$ составляет $270^\circ$ ($\frac{3\pi}{2}$ радиан). Угол $AOB$ содержит 0 полных оборотов.

е) Вектор $\vec{OA}$ направлен по отрицательной оси y, вектор $\vec{OB}$ направлен по положительной оси y. Вращение по часовой стрелке, с двумя полными оборотами (спиралями). Полный угол $AOB$ составляет $2 \times 360^\circ + 180^\circ = 900^\circ$ ($5\pi$ радиан). Угол $AOB$ содержит 2 полных оборота.

а)

Начальный вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль отрицательной полуоси $y$, что соответствует углу $-90^\circ$ или $270^\circ$. Конечный вектор $\vec{OB}$ направлен вдоль положительной полуоси $y$, что соответствует углу $90^\circ$. Поворот совершается против часовой стрелки. Изображенная дуга показывает, что угол поворота меньше полного оборота ($360^\circ$). Величина угла поворота составляет $\alpha = 90^\circ - (-90^\circ) = 180^\circ$. Так как $180^\circ < 360^\circ$, угол не содержит ни одного полного оборота.

Ответ: 0

б)

Начальное и конечное положения векторов такие же, как и в пункте а). Однако спиралевидная дуга указывает, что вектор совершил один полный оборот против часовой стрелки, а затем повернулся из положения $\vec{OA}$ в положение $\vec{OB}$. Таким образом, общий угол поворота складывается из одного полного оборота ($360^\circ$) и угла поворота от $\vec{OA}$ до $\vec{OB}$ ($180^\circ$). Общий угол поворота равен $\alpha = 360^\circ + 180^\circ = 540^\circ$. Чтобы найти количество полных оборотов, нужно разделить общий угол на $360^\circ$ и взять целую часть: $N = \lfloor \frac{540^\circ}{360^\circ} \rfloor = \lfloor 1.5 \rfloor = 1$.

Ответ: 1

в)

Начальный вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль отрицательной полуоси $y$ (угол $-90^\circ$ или $270^\circ$). Конечный вектор $\vec{OB}$ направлен вдоль отрицательной полуоси $x$ (угол $180^\circ$). Поворот совершается против часовой стрелки. Угол поворота меньше полного оборота. Величина угла поворота от начального положения к конечному в положительном направлении составляет $\alpha = 180^\circ - (-90^\circ) = 270^\circ$. Так как $270^\circ < 360^\circ$, угол не содержит ни одного полного оборота.

Ответ: 0

г)

Начальный вектор $\vec{OA}$ и конечный вектор $\vec{OB}$ совпадают и направлены вдоль отрицательной полуоси $y$. Спиралевидная дуга показывает, что вектор совершил ровно один полный оборот против часовой стрелки и вернулся в исходное положение. Угол поворота составляет $\alpha = 360^\circ$. Количество полных оборотов равно $N = \frac{360^\circ}{360^\circ} = 1$.

Ответ: 1

д)

Начальный вектор $\vec{OA}$ и конечный вектор $\vec{OB}$ совпадают и направлены вдоль отрицательной полуоси $x$. Спиралевидная дуга, состоящая из двух витков, показывает, что вектор совершил ровно два полных оборота против часовой стрелки. Общий угол поворота равен $\alpha = 2 \times 360^\circ = 720^\circ$. Количество полных оборотов равно $N = \frac{720^\circ}{360^\circ} = 2$.

Ответ: 2

е)

Начальный вектор $\vec{OA}$ и конечный вектор $\vec{OB}$ совпадают и направлены вдоль отрицательной полуоси $x$. Спиралевидная дуга, состоящая из трех витков, показывает, что вектор совершил ровно три полных оборота против часовой стрелки. Общий угол поворота равен $\alpha = 3 \times 360^\circ = 1080^\circ$. Количество полных оборотов равно $N = \frac{1080^\circ}{360^\circ} = 3$.

Ответ: 3

7.5 Изобразите на координатной плоскости угол AOB, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$ на:

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота;

б) 0,25 полного оборота;

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота;

г) 1,75 полного оборота;

д) 1 полный оборот;

е) 2,5 полного оборота

по часовой стрелке (против часовой стрелки). Определите градусную меру угла AOB.

Для решения задачи представим координатную плоскость. Начальный вектор $\vec{OA}$ совпадает с положительным направлением оси абсцисс (Ox), а точка O — с началом координат. Поворот подвижного вектора от $\vec{OA}$ до $\vec{OB}$ против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Полный оборот равен $360^\circ$. Градусная мера угла AOB, полученного поворотом, будет равна величине этого поворота в градусах.

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $\frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ окажется на отрицательной части оси Ox, направленным противоположно $\vec{OA}$.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ окажется в том же положении, на отрицательной части оси Ox.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $180^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-180^\circ$.

б) 0,25 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $0,25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+90^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси ординат (Oy).

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-90^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $90^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-90^\circ$.

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $270^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-270^\circ$.

г) 1,75 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $1,75 \cdot 360^\circ = \frac{7}{4} \cdot 360^\circ = 630^\circ$. Этот поворот состоит из одного полного оборота ($360^\circ$) и еще $\frac{3}{4}$ оборота ($270^\circ$).

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+630^\circ$. Совершив один полный оборот, вектор вернется в исходное положение, а затем повернется еще на $+270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-630^\circ$. Совершив один полный оборот по часовой стрелке, вектор повернется еще на $-270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $630^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-630^\circ$.

д) 1 полный оборот

Величина поворота в градусах равна: $1 \cdot 360^\circ = 360^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+360^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ совершит полный оборот и вернется в исходное положение, совпав с вектором $\vec{OA}$.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-360^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ также вернется в исходное положение.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $360^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-360^\circ$.

е) 2,5 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $2,5 \cdot 360^\circ = \frac{5}{2} \cdot 360^\circ = 900^\circ$. Этот поворот состоит из двух полных оборотов ($720^\circ$) и еще половины оборота ($180^\circ$).

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+900^\circ$. Совершив два полных оборота, вектор вернется в исходное положение, а затем повернется еще на $+180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Ox.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-900^\circ$. Совершив два полных оборота по часовой стрелке, вектор повернется еще на $-180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Ox.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $900^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-900^\circ$.