Страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

С помощью транспортира изобразите на координатной плоскости угол $AOB$, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$, если градусная мера этого угла равна (7.6–7.7):

7.6

a) $60^\circ$; б) $120^\circ$; в) $200^\circ$; г) $245^\circ$;
д) $270^\circ$; е) $300^\circ$; ж) $380^\circ$; з) $420^\circ$.

Для решения задачи изобразим на координатной плоскости $xy$ начальный вектор $\overrightarrow{OA}$ так, чтобы его начало совпадало с началом координат $O(0,0)$, а конец, точка $A$, лежал на положительной полуоси $Ox$. Угол отсчитывается от вектора $\overrightarrow{OA}$ против часовой стрелки (положительное направление).

а) 60°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $60^\circ$ против часовой стрелки. Для этого помещаем центр транспортира в начало координат, а нулевую отметку совмещаем с лучом $OA$. Находим на шкале транспортира отметку $60^\circ$ и ставим точку $B$. Проводим вектор $\overrightarrow{OB}$. Так как $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в I четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $60^\circ$.

б) 120°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $120^\circ$ против часовой стрелки. Помещаем центр транспортира в точку $O$, совмещаем нулевую отметку с лучом $OA$. Находим на шкале отметку $120^\circ$ и ставим точку $B$. Проводим вектор $\overrightarrow{OB}$. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен во II координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен во II четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $120^\circ$.

в) 200°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $200^\circ$ против часовой стрелки. Стандартный транспортир имеет шкалу до $180^\circ$. Поворот на $180^\circ$ соответствует отрицательной полуоси $Ox$. Чтобы получить угол $200^\circ$, нужно от отрицательной полуоси $Ox$ отложить дополнительный угол $200^\circ - 180^\circ = 20^\circ$ против часовой стрелки. Так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в III координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в III четверти. Он образует с отрицательным направлением оси $Ox$ угол $20^\circ$ (или $200^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$).

г) 245°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $245^\circ$ против часовой стрелки. Для построения отложим от отрицательной полуоси $Ox$ (которая соответствует углу $180^\circ$) угол $245^\circ - 180^\circ = 65^\circ$ против часовой стрелки. Так как $180^\circ < 245^\circ < 270^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в III координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в III четверти. Он образует с отрицательным направлением оси $Ox$ угол $65^\circ$ (или $245^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$).

д) 270°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $270^\circ$ против часовой стрелки. Этот угол является пограничным (квадрантным). Поворот на $270^\circ$ совмещает подвижный вектор с отрицательной полуосью $Oy$.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$.

е) 300°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $300^\circ$ против часовой стрелки. Так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в IV координатной четверти. Для построения можно отложить от положительной полуоси $Ox$ угол $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ по часовой стрелке.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в IV четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $300^\circ$ (или $-60^\circ$).

ж) 380°

Угол $380^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Чтобы найти положение вектора, вычтем полный оборот: $380^\circ - 360^\circ = 20^\circ$. Это означает, что вектор совершает один полный оборот и останавливается в том же положении, что и вектор, повернутый на $20^\circ$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 90^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в I четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $20^\circ$.

з) 420°

Угол $420^\circ$ больше полного оборота. Вычтем $360^\circ$: $420^\circ - 360^\circ = 60^\circ$. Положение вектора $\overrightarrow{OB}$ будет таким же, как и при повороте на $60^\circ$. Так как $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в I четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $60^\circ$.

7.7 a) $-45^\circ$;

б) $-30^\circ$;

в) $-120^\circ$;

г) $-160^\circ$;

д) $-270^\circ$;

е) $-300^\circ$;

ж) $-500^\circ$;

з) $-1000^\circ$.

а) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-45^\circ$ получаем:
$ -45^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{45\pi}{180} = -\frac{\pi}{4} $.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

б) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-30^\circ$ получаем:
$ -30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{30\pi}{180} = -\frac{\pi}{6} $.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

в) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-120^\circ$ получаем:
$ -120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{120\pi}{180} = -\frac{12\pi}{18} = -\frac{2\pi}{3} $.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

г) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-160^\circ$ получаем:
$ -160^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{160\pi}{180} = -\frac{16\pi}{18} = -\frac{8\pi}{9} $.
Ответ: $-\frac{8\pi}{9}$.

д) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-270^\circ$ получаем:
$ -270^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{270\pi}{180} = -\frac{27\pi}{18} = -\frac{3\pi}{2} $.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$.

е) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-300^\circ$ получаем:
$ -300^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{300\pi}{180} = -\frac{30\pi}{18} = -\frac{5\pi}{3} $.
Ответ: $-\frac{5\pi}{3}$.

ж) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-500^\circ$ получаем:
$ -500^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{500\pi}{180} = -\frac{50\pi}{18} = -\frac{25\pi}{9} $.
Ответ: $-\frac{25\pi}{9}$.

з) Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на множитель $\frac{\pi}{180}$.
Для угла $-1000^\circ$ получаем:
$ -1000^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{1000\pi}{180} = -\frac{100\pi}{18} = -\frac{50\pi}{9} $.
Ответ: $-\frac{50\pi}{9}$.

7.8 Запишите градусную меру угла AOB, изображённого на рисунке 76, а—г.

Рис. 76

а) $90^\circ$

б) $-270^\circ$

в) $90^\circ$

г) $-270^\circ$

а) Начальный луч OA совпадает с положительной полуосью y, а конечный луч OB — с положительной полуосью x. Угол поворота от OA к OB, указанный стрелкой, составляет один прямой угол ($90^\circ$) и направлен по часовой стрелке. Поворот по часовой стрелке считается отрицательным, поэтому искомый угол равен $-90^\circ$.
Ответ: $-90^\circ$.

б) Начальный луч OA совпадает с положительной полуосью y, а конечный луч OB — с отрицательной полуосью x. Угол поворота от OA к OB, указанный стрелкой, составляет один прямой угол ($90^\circ$) и направлен против часовой стрелки. Поворот против часовой стрелки считается положительным, поэтому искомый угол равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) Начальный луч OA совпадает с положительной полуосью y, а конечный луч OB — с положительной полуосью x. Угол поворота от OA к OB, указанный стрелкой, составляет три прямых угла ($3 \times 90^\circ = 270^\circ$) и направлен против часовой стрелки. Поворот против часовой стрелки считается положительным, поэтому искомый угол равен $270^\circ$.
Ответ: $270^\circ$.

г) Начальный луч OA совпадает с положительной полуосью y, а конечный луч OB — с отрицательной полуосью x. Угол поворота от OA к OB, указанный стрелкой, составляет три прямых угла ($3 \times 90^\circ = 270^\circ$) и направлен по часовой стрелке. Поворот по часовой стрелке считается отрицательным, поэтому искомый угол равен $-270^\circ$.
Ответ: $-270^\circ$.

7.9 Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит угол, градусная мера которого равна:

а) ${700^{\circ}}$;б) ${-320^{\circ}}$;в) ${2000^{\circ}}$;г) ${3800^{\circ}}$;

д) ${-600^{\circ}}$;е) ${-800^{\circ}}$;ж) ${-1500^{\circ}}$;з) ${-2400^{\circ}}$?

Чтобы определить, сколько полных оборотов содержит угол и в каком направлении, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление вращения по знаку угла. Положительный знак (или его отсутствие) означает вращение против часовой стрелки (положительное направление). Отрицательный знак означает вращение по часовой стрелке (отрицательное направление).
2. Найти количество полных оборотов. Для этого нужно разделить абсолютное значение градусной меры угла на $360^\circ$ (один полный оборот) и взять целую часть от полученного результата.

а) Угол $700^\circ$ является положительным, значит, вращение происходит в положительном направлении (против часовой стрелки).
Чтобы найти количество полных оборотов, разделим $700^\circ$ на $360^\circ$:
$700 / 360 = 1$ (остаток $340$)
Это означает, что угол содержит 1 полный оборот. Угол можно представить в виде: $700^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 340^\circ$.
Ответ: 1 полный оборот в положительном направлении (против часовой стрелки).

б) Угол $-320^\circ$ является отрицательным, значит, вращение происходит в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
Разделим абсолютное значение угла на $360^\circ$:
$320 / 360 \approx 0.89$
Целая часть от деления равна 0. Следовательно, угол не содержит ни одного полного оборота.
Ответ: 0 полных оборотов.

в) Угол $2000^\circ$ является положительным, направление вращения — против часовой стрелки.
Разделим $2000^\circ$ на $360^\circ$:
$2000 / 360 = 5$ (остаток $200$)
Угол содержит 5 полных оборотов: $2000^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 200^\circ$.
Ответ: 5 полных оборотов в положительном направлении (против часовой стрелки).

г) Угол $3800^\circ$ является положительным, направление вращения — против часовой стрелки.
Разделим $3800^\circ$ на $360^\circ$:
$3800 / 360 = 10$ (остаток $200$)
Угол содержит 10 полных оборотов: $3800^\circ = 10 \cdot 360^\circ + 200^\circ$.
Ответ: 10 полных оборотов в положительном направлении (против часовой стрелки).

д) Угол $-600^\circ$ является отрицательным, направление вращения — по часовой стрелке.
Разделим абсолютное значение угла на $360^\circ$:
$600 / 360 = 1$ (остаток $240$)
Угол содержит 1 полный оборот: $-600^\circ = -1 \cdot 360^\circ - 240^\circ$.
Ответ: 1 полный оборот в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

е) Угол $-800^\circ$ является отрицательным, направление вращения — по часовой стрелке.
Разделим абсолютное значение угла на $360^\circ$:
$800 / 360 = 2$ (остаток $80$)
Угол содержит 2 полных оборота: $-800^\circ = -2 \cdot 360^\circ - 80^\circ$.
Ответ: 2 полных оборота в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

ж) Угол $-1500^\circ$ является отрицательным, направление вращения — по часовой стрелке.
Разделим абсолютное значение угла на $360^\circ$:
$1500 / 360 = 4$ (остаток $60$)
Угол содержит 4 полных оборота: $-1500^\circ = -4 \cdot 360^\circ - 60^\circ$.
Ответ: 4 полных оборота в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

з) Угол $-2400^\circ$ является отрицательным, направление вращения — по часовой стрелке.
Разделим абсолютное значение угла на $360^\circ$:
$2400 / 360 = 6$ (остаток $240$)
Угол содержит 6 полных оборотов: $-2400^\circ = -6 \cdot 360^\circ - 240^\circ$.
Ответ: 6 полных оборотов в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

7.10 На рисунке 77, а–г изображён вектор $\vec{OB}$ ($\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$) — конечное положение подвижного вектора после поворота на некоторый угол от его начального положения — вектора $\vec{OA}$.

Рис. 77

а) Изобразите углы $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$, имеющие наименьшую по абсолютной величине градусную меру.

б) Запишите градусные меры всех возможных углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$. Например, все возможные углы $AOB$ на рисунке 77, а можно записать в виде $90^\circ + 360^\circ \cdot n$, $n \in Z$.

Углом поворота вектора $\overrightarrow{OA}$ в вектор $\overrightarrow{OB}$ (а также $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OE}$) является угол между этими векторами. Наименьшая по абсолютной величине градусная мера угла — это угол в диапазоне $(-180^\circ, 180^\circ]$. Положительное значение соответствует повороту против часовой стрелки, отрицательное — по часовой стрелке. Начальное положение вектора $\overrightarrow{OA}$ всегда совпадает с положительным направлением оси $Ox$.

Для рисунка 77, а):

Векторы $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$ и $\overrightarrow{OE}$ лежат на осях координат.

- Угол AOB: Поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки. Наименьшая мера: $90^\circ$.

- Угол AOC: Поворот на $180^\circ$. Наименьшая мера: $180^\circ$.

- Угол AOD: Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке. Наименьшая мера: $-90^\circ$.

- Угол AOE: Вектор не сместился. Наименьшая мера: $0^\circ$.

Для рисунка 77, б):

Векторы являются биссектрисами координатных четвертей.

- Угол AOB: Биссектриса I четверти. Наименьшая мера: $45^\circ$.

- Угол AOC: Биссектриса II четверти. Наименьшая мера: $135^\circ$.

- Угол AOD: Биссектриса III четверти. Угол поворота $225^\circ$ против часовой стрелки или $-135^\circ$ по часовой. Наименьшая мера: $-135^\circ$.

- Угол AOE: Биссектриса IV четверти. Угол поворота $315^\circ$ против часовой стрелки или $-45^\circ$ по часовой. Наименьшая мера: $-45^\circ$.

Для рисунка 77, в):

Концы векторов лежат на пересечении единичной окружности с вертикальными прямыми $x=1/2$ и $x=-1/2$. Для угла $\alpha$ это означает $\cos \alpha = \pm 1/2$.

- Угол AOB: $\cos \alpha = 1/2$, I четверть. Наименьшая мера: $60^\circ$.

- Угол AOC: $\cos \alpha = -1/2$, II четверть. Наименьшая мера: $120^\circ$.

- Угол AOD: $\cos \alpha = -1/2$, III четверть. Угол $240^\circ$ или $-120^\circ$. Наименьшая мера: $-120^\circ$.

- Угол AOE: $\cos \alpha = 1/2$, IV четверть. Угол $300^\circ$ или $-60^\circ$. Наименьшая мера: $-60^\circ$.

Для рисунка 77, г):

Концы векторов лежат на пересечении единичной окружности с горизонтальными прямыми $y=1/2$ и $y=-1/2$. Для угла $\alpha$ это означает $\sin \alpha = \pm 1/2$.

- Угол AOB: $\sin \alpha = 1/2$, I четверть. Наименьшая мера: $30^\circ$.

- Угол AOC: $\sin \alpha = 1/2$, II четверть. Наименьшая мера: $150^\circ$.

- Угол AOD: $\sin \alpha = -1/2$, III четверть. Угол $210^\circ$ или $-150^\circ$. Наименьшая мера: $-150^\circ$.

- Угол AOE: $\sin \alpha = -1/2$, IV четверть. Угол $330^\circ$ или $-30^\circ$. Наименьшая мера: $-30^\circ$.

Ответ: Для рисунка 77, а) наименьшие по абсолютной величине углы AOB, AOC, AOD, AOE равны соответственно $90^\circ, 180^\circ, -90^\circ, 0^\circ$. Для рисунка 77, б) углы равны $45^\circ, 135^\circ, -135^\circ, -45^\circ$. Для рисунка 77, в) углы равны $60^\circ, 120^\circ, -120^\circ, -60^\circ$. Для рисунка 77, г) углы равны $30^\circ, 150^\circ, -150^\circ, -30^\circ$.

Общая формула для всех возможных углов поворота имеет вид $\alpha + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — целое число, обозначающее количество полных оборотов), а $\alpha$ — один из углов поворота (обычно берут наименьший неотрицательный угол в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$).

Для рисунка 77, а):

- AOB: $90^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $180^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $270^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Для рисунка 77, б):

- AOB: $45^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $135^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $225^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $315^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Для рисунка 77, в):

- AOB: $60^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $120^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $240^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $300^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Для рисунка 77, г):

- AOB: $30^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $150^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $210^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $330^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Для рисунка а): $90^\circ+360^\circ \cdot n, 180^\circ+360^\circ \cdot n, 270^\circ+360^\circ \cdot n, 360^\circ \cdot n$. Для рисунка б): $45^\circ+360^\circ \cdot n, 135^\circ+360^\circ \cdot n, 225^\circ+360^\circ \cdot n, 315^\circ+360^\circ \cdot n$. Для рисунка в): $60^\circ+360^\circ \cdot n, 120^\circ+360^\circ \cdot n, 240^\circ+360^\circ \cdot n, 300^\circ+360^\circ \cdot n$. Для рисунка г): $30^\circ+360^\circ \cdot n, 150^\circ+360^\circ \cdot n, 210^\circ+360^\circ \cdot n, 330^\circ+360^\circ \cdot n$, где для всех формул $n \in \mathbb{Z}$.