Номер 7.10, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.1. Понятие угла - номер 7.10, страница 199.

Условие.

7.10 На рисунке 77, а–г изображён вектор $\vec{OB}$ ($\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$) — конечное положение подвижного вектора после поворота на некоторый угол от его начального положения — вектора $\vec{OA}$.

Рис. 77

а) Изобразите углы $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$, имеющие наименьшую по абсолютной величине градусную меру.

б) Запишите градусные меры всех возможных углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$. Например, все возможные углы $AOB$ на рисунке 77, а можно записать в виде $90^\circ + 360^\circ \cdot n$, $n \in Z$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Углом поворота вектора $\overrightarrow{OA}$ в вектор $\overrightarrow{OB}$ (а также $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OE}$) является угол между этими векторами. Наименьшая по абсолютной величине градусная мера угла — это угол в диапазоне $(-180^\circ, 180^\circ]$. Положительное значение соответствует повороту против часовой стрелки, отрицательное — по часовой стрелке. Начальное положение вектора $\overrightarrow{OA}$ всегда совпадает с положительным направлением оси $Ox$.

Для рисунка 77, а):

Векторы $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$ и $\overrightarrow{OE}$ лежат на осях координат.

- Угол AOB: Поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки. Наименьшая мера: $90^\circ$.

- Угол AOC: Поворот на $180^\circ$. Наименьшая мера: $180^\circ$.

- Угол AOD: Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке. Наименьшая мера: $-90^\circ$.

- Угол AOE: Вектор не сместился. Наименьшая мера: $0^\circ$.

Для рисунка 77, б):

Векторы являются биссектрисами координатных четвертей.

- Угол AOB: Биссектриса I четверти. Наименьшая мера: $45^\circ$.

- Угол AOC: Биссектриса II четверти. Наименьшая мера: $135^\circ$.

- Угол AOD: Биссектриса III четверти. Угол поворота $225^\circ$ против часовой стрелки или $-135^\circ$ по часовой. Наименьшая мера: $-135^\circ$.

- Угол AOE: Биссектриса IV четверти. Угол поворота $315^\circ$ против часовой стрелки или $-45^\circ$ по часовой. Наименьшая мера: $-45^\circ$.

Для рисунка 77, в):

Концы векторов лежат на пересечении единичной окружности с вертикальными прямыми $x=1/2$ и $x=-1/2$. Для угла $\alpha$ это означает $\cos \alpha = \pm 1/2$.

- Угол AOB: $\cos \alpha = 1/2$, I четверть. Наименьшая мера: $60^\circ$.

- Угол AOC: $\cos \alpha = -1/2$, II четверть. Наименьшая мера: $120^\circ$.

- Угол AOD: $\cos \alpha = -1/2$, III четверть. Угол $240^\circ$ или $-120^\circ$. Наименьшая мера: $-120^\circ$.

- Угол AOE: $\cos \alpha = 1/2$, IV четверть. Угол $300^\circ$ или $-60^\circ$. Наименьшая мера: $-60^\circ$.

Для рисунка 77, г):

Концы векторов лежат на пересечении единичной окружности с горизонтальными прямыми $y=1/2$ и $y=-1/2$. Для угла $\alpha$ это означает $\sin \alpha = \pm 1/2$.

- Угол AOB: $\sin \alpha = 1/2$, I четверть. Наименьшая мера: $30^\circ$.

- Угол AOC: $\sin \alpha = 1/2$, II четверть. Наименьшая мера: $150^\circ$.

- Угол AOD: $\sin \alpha = -1/2$, III четверть. Угол $210^\circ$ или $-150^\circ$. Наименьшая мера: $-150^\circ$.

- Угол AOE: $\sin \alpha = -1/2$, IV четверть. Угол $330^\circ$ или $-30^\circ$. Наименьшая мера: $-30^\circ$.

Ответ: Для рисунка 77, а) наименьшие по абсолютной величине углы AOB, AOC, AOD, AOE равны соответственно $90^\circ, 180^\circ, -90^\circ, 0^\circ$. Для рисунка 77, б) углы равны $45^\circ, 135^\circ, -135^\circ, -45^\circ$. Для рисунка 77, в) углы равны $60^\circ, 120^\circ, -120^\circ, -60^\circ$. Для рисунка 77, г) углы равны $30^\circ, 150^\circ, -150^\circ, -30^\circ$.

б)

Общая формула для всех возможных углов поворота имеет вид $\alpha + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — целое число, обозначающее количество полных оборотов), а $\alpha$ — один из углов поворота (обычно берут наименьший неотрицательный угол в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$).

Для рисунка 77, а):

- AOB: $90^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $180^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $270^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Для рисунка 77, б):

- AOB: $45^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $135^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $225^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $315^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Для рисунка 77, в):

- AOB: $60^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $120^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $240^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $300^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Для рисунка 77, г):

- AOB: $30^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOC: $150^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOD: $210^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

- AOE: $330^\circ + 360^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Для рисунка а): $90^\circ+360^\circ \cdot n, 180^\circ+360^\circ \cdot n, 270^\circ+360^\circ \cdot n, 360^\circ \cdot n$. Для рисунка б): $45^\circ+360^\circ \cdot n, 135^\circ+360^\circ \cdot n, 225^\circ+360^\circ \cdot n, 315^\circ+360^\circ \cdot n$. Для рисунка в): $60^\circ+360^\circ \cdot n, 120^\circ+360^\circ \cdot n, 240^\circ+360^\circ \cdot n, 300^\circ+360^\circ \cdot n$. Для рисунка г): $30^\circ+360^\circ \cdot n, 150^\circ+360^\circ \cdot n, 210^\circ+360^\circ \cdot n, 330^\circ+360^\circ \cdot n$, где для всех формул $n \in \mathbb{Z}$.