Номер 7.5, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.1. Понятие угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.5, страница 197.

7.5 Изобразите на координатной плоскости угол AOB, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$ на:

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота;

б) 0,25 полного оборота;

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота;

г) 1,75 полного оборота;

д) 1 полный оборот;

е) 2,5 полного оборота

по часовой стрелке (против часовой стрелки). Определите градусную меру угла AOB.

Для решения задачи представим координатную плоскость. Начальный вектор $\vec{OA}$ совпадает с положительным направлением оси абсцисс (Ox), а точка O — с началом координат. Поворот подвижного вектора от $\vec{OA}$ до $\vec{OB}$ против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Полный оборот равен $360^\circ$. Градусная мера угла AOB, полученного поворотом, будет равна величине этого поворота в градусах.

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $\frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ окажется на отрицательной части оси Ox, направленным противоположно $\vec{OA}$.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ окажется в том же положении, на отрицательной части оси Ox.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $180^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-180^\circ$.

б) 0,25 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $0,25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+90^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси ординат (Oy).

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-90^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $90^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-90^\circ$.

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $270^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-270^\circ$.

г) 1,75 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $1,75 \cdot 360^\circ = \frac{7}{4} \cdot 360^\circ = 630^\circ$. Этот поворот состоит из одного полного оборота ($360^\circ$) и еще $\frac{3}{4}$ оборота ($270^\circ$).

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+630^\circ$. Совершив один полный оборот, вектор вернется в исходное положение, а затем повернется еще на $+270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-630^\circ$. Совершив один полный оборот по часовой стрелке, вектор повернется еще на $-270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $630^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-630^\circ$.

д) 1 полный оборот

Величина поворота в градусах равна: $1 \cdot 360^\circ = 360^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+360^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ совершит полный оборот и вернется в исходное положение, совпав с вектором $\vec{OA}$.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-360^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ также вернется в исходное положение.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $360^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-360^\circ$.

е) 2,5 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $2,5 \cdot 360^\circ = \frac{5}{2} \cdot 360^\circ = 900^\circ$. Этот поворот состоит из двух полных оборотов ($720^\circ$) и еще половины оборота ($180^\circ$).

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+900^\circ$. Совершив два полных оборота, вектор вернется в исходное положение, а затем повернется еще на $+180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Ox.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-900^\circ$. Совершив два полных оборота по часовой стрелке, вектор повернется еще на $-180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Ox.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $900^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-900^\circ$.