Номер 7.5, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.1. Понятие угла - номер 7.5, страница 197.

Условие.

7.5 Изобразите на координатной плоскости угол AOB, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$ на:

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота;

б) 0,25 полного оборота;

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота;

г) 1,75 полного оборота;

д) 1 полный оборот;

е) 2,5 полного оборота

по часовой стрелке (против часовой стрелки). Определите градусную меру угла AOB.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи представим координатную плоскость. Начальный вектор $\vec{OA}$ совпадает с положительным направлением оси абсцисс (Ox), а точка O — с началом координат. Поворот подвижного вектора от $\vec{OA}$ до $\vec{OB}$ против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Полный оборот равен $360^\circ$. Градусная мера угла AOB, полученного поворотом, будет равна величине этого поворота в градусах.

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $\frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ окажется на отрицательной части оси Ox, направленным противоположно $\vec{OA}$.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ окажется в том же положении, на отрицательной части оси Ox.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $180^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-180^\circ$.

б) 0,25 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $0,25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+90^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси ординат (Oy).

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-90^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $90^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-90^\circ$.

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $270^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-270^\circ$.

г) 1,75 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $1,75 \cdot 360^\circ = \frac{7}{4} \cdot 360^\circ = 630^\circ$. Этот поворот состоит из одного полного оборота ($360^\circ$) и еще $\frac{3}{4}$ оборота ($270^\circ$).

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+630^\circ$. Совершив один полный оборот, вектор вернется в исходное положение, а затем повернется еще на $+270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Oy.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-630^\circ$. Совершив один полный оборот по часовой стрелке, вектор повернется еще на $-270^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной части оси Oy.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $630^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-630^\circ$.

д) 1 полный оборот

Величина поворота в градусах равна: $1 \cdot 360^\circ = 360^\circ$.

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+360^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ совершит полный оборот и вернется в исходное положение, совпав с вектором $\vec{OA}$.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-360^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ также вернется в исходное положение.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $360^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-360^\circ$.

е) 2,5 полного оборота

Величина поворота в градусах равна: $2,5 \cdot 360^\circ = \frac{5}{2} \cdot 360^\circ = 900^\circ$. Этот поворот состоит из двух полных оборотов ($720^\circ$) и еще половины оборота ($180^\circ$).

При повороте против часовой стрелки: угол поворота составляет $+900^\circ$. Совершив два полных оборота, вектор вернется в исходное положение, а затем повернется еще на $+180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Ox.

При повороте по часовой стрелке: угол поворота составляет $-900^\circ$. Совершив два полных оборота по часовой стрелке, вектор повернется еще на $-180^\circ$. Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной части оси Ox.

Ответ: при повороте против часовой стрелки — $900^\circ$; при повороте по часовой стрелке — $-900^\circ$.