Номер 7.15, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.2. Радианная мера угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.15, страница 202.

7.15 a) Какой угол называют углом в 1 радиан?

б) Сколько радиан содержит полный оборот; половина полного оборота; четверть полного оборота?

a) Радианом называется единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ). Угол в 1 радиан — это центральный угол в окружности, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.
Если рассмотреть окружность радиусом `$r$`, то величина центрального угла `$\alpha$` в радианах, который опирается на дугу длиной `$l$`, вычисляется по формуле: `$\alpha = \frac{l}{r}$`
Когда длина дуги равна радиусу (`$l=r$`), то угол `$\alpha$` будет равен: `$\alpha = \frac{r}{r} = 1$` радиан.
Поскольку полный оборот равен `$360^\circ$`, а в радианах это `$2\pi$`, то 1 радиан в градусах равен `$ \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ $`.

Ответ: Углом в 1 радиан называют такой центральный угол, у которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу окружности.

б) Для определения радианной меры различных частей оборота, мы используем тот факт, что полный оборот соответствует углу, опирающемуся на всю длину окружности.

• Полный оборот: Длина окружности с радиусом `$r$` равна `$C = 2\pi r$`. Угол, соответствующий полному обороту, в радианах равен отношению длины всей окружности к её радиусу: `$\alpha_{полный} = \frac{C}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$` радиан.
• Половина полного оборота: Это соответствует углу, который вдвое меньше полного оборота: `$\alpha_{половина} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$` радиан. Это развернутый угол, равный `$180^\circ$`.
• Четверть полного оборота: Это соответствует углу, который вчетверо меньше полного оборота: `$\alpha_{четверть} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$` радиан. Это прямой угол, равный `$90^\circ$`.

Ответ: Полный оборот содержит `$2\pi$` радиан; половина полного оборота — `$\pi$` радиан; четверть полного оборота — `$\frac{\pi}{2}$` радиан.