Номер 6.55, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного - номер 6.55, страница 186.

Условие.

6.55 a) $\log_2(\log_3 x) > 1;$

В) $\log_2(\log_3 x) < 2;$

б) $\log_2(\log_4 x) > -1;$

Г) $\log_3(\log_2 x) < 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим неравенство $\log_2(\log_3 x) > 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент любого логарифма должен быть строго положительным.
1. Из условия существования внутреннего логарифма $\log_3 x$, имеем $x > 0$.
2. Из условия существования внешнего логарифма $\log_2(\log_3 x)$, имеем $\log_3 x > 0$.
Решим второе неравенство: $\log_3 x > 0$. Представим $0$ как $\log_3 1$. Получим $\log_3 x > \log_3 1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x > 1$, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Теперь решим исходное неравенство $\log_2(\log_3 x) > 1$.
Представим $1$ как $\log_2 2$. Неравенство примет вид: $\log_2(\log_3 x) > \log_2 2$.
Так как основание $2 > 1$, функция логарифма возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\log_3 x > 2$.
Представим $2$ как $2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9$. Неравенство примет вид: $\log_3 x > \log_3 9$.
Так как основание $3 > 1$, то $x > 9$.

Полученное решение $x > 9$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).
Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_2(\log_4 x) > -1$.
Найдем ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_4 x > 0 \implies x > 4^0 \implies x > 1$.
ОДЗ: $x > 1$.

Решим неравенство $\log_2(\log_4 x) > -1$.
Представим $-1$ как $\log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2}$. Получим $\log_2(\log_4 x) > \log_2 \frac{1}{2}$.
Так как основание $2 > 1$, то $\log_4 x > \frac{1}{2}$.
Представим $\frac{1}{2}$ как $\frac{1}{2} \cdot \log_4 4 = \log_4 4^{1/2} = \log_4 2$. Получим $\log_4 x > \log_4 2$.
Так как основание $4 > 1$, то $x > 2$.

Решение $x > 2$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\log_2(\log_3 x) < 2$.
ОДЗ, как и в пункте а): $x > 1$.

Решим неравенство $\log_2(\log_3 x) < 2$.
Представим $2$ как $\log_2 2^2 = \log_2 4$. Получим $\log_2(\log_3 x) < \log_2 4$.
Так как основание $2 > 1$, то $\log_3 x < 4$.
Представим $4$ как $4 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^4 = \log_3 81$. Получим $\log_3 x < \log_3 81$.
Так как основание $3 > 1$, то $x < 81$.

Теперь необходимо совместить полученное решение $x < 81$ с ОДЗ $x > 1$. Получаем двойное неравенство $1 < x < 81$.
Ответ: $x \in (1, 81)$.

г) Решим неравенство $\log_3(\log_2 x) < 1$.
Найдем ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_2 x > 0 \implies x > 2^0 \implies x > 1$.
ОДЗ: $x > 1$.

Решим неравенство $\log_3(\log_2 x) < 1$.
Представим $1$ как $\log_3 3$. Получим $\log_3(\log_2 x) < \log_3 3$.
Так как основание $3 > 1$, то $\log_2 x < 3$.
Представим $3$ как $3 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^3 = \log_2 8$. Получим $\log_2 x < \log_2 8$.
Так как основание $2 > 1$, то $x < 8$.

Совмещаем решение $x < 8$ с ОДЗ $x > 1$. Получаем двойное неравенство $1 < x < 8$.
Ответ: $x \in (1, 8)$.