Страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.51 а) $log_2 (3x - 5) > 3;$

б) $log_5 (2x - 1) < -1;$

В) $log_7 (5x - 4) \ge 0;$

Г) $log_{0.2} (3x - 4) > -1;$

Д) $log_{0.5} (x - 4) < 1;$

е) $log_{0.25} (x - 3) \le -1.$

а) $\log_{2}(3x - 5) > 3$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием: аргумент логарифма должен быть положителен. $3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3}$. Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется. $3x - 5 > 2^3$ $3x - 5 > 8$ $3x > 13$ $x > \frac{13}{3}$. Находим пересечение полученного решения с ОДЗ: $x > \frac{5}{3}$ и $x > \frac{13}{3}$. Поскольку $\frac{13}{3} > \frac{5}{3}$, итоговое решение $x > \frac{13}{3}$. Ответ: $(\frac{13}{3}; +\infty)$.

б) $\log_{5}(2x - 1) < -1$. ОДЗ: $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$. Основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. $2x - 1 < 5^{-1}$ $2x - 1 < \frac{1}{5}$ $2x < 1 + \frac{1}{5}$ $2x < \frac{6}{5}$ $x < \frac{3}{5}$. Находим пересечение решений: $x > \frac{1}{2}$ и $x < \frac{3}{5}$. Это дает нам интервал $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{5}$. Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{5})$.

в) $\log_{7}(5x - 4) \ge 0$. ОДЗ: $5x - 4 > 0 \implies 5x > 4 \implies x > \frac{4}{5}$. Основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. $5x - 4 \ge 7^0$ $5x - 4 \ge 1$ $5x \ge 5$ $x \ge 1$. Находим пересечение решений: $x > \frac{4}{5}$ и $x \ge 1$. Общим решением является $x \ge 1$. Ответ: $[1; +\infty)$.

г) $\log_{0,2}(3x - 4) > -1$. ОДЗ: $3x - 4 > 0 \implies 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3}$. Основание логарифма $0,2 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $3x - 4 < (0,2)^{-1}$ $3x - 4 < (\frac{1}{5})^{-1}$ $3x - 4 < 5$ $3x < 9$ $x < 3$. Находим пересечение решений: $x > \frac{4}{3}$ и $x < 3$. Это дает нам интервал $\frac{4}{3} < x < 3$. Ответ: $(\frac{4}{3}; 3)$.

д) $\log_{0,5}(x - 4) < 1$. ОДЗ: $x - 4 > 0 \implies x > 4$. Основание логарифма $0,5 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный. $x - 4 > (0,5)^1$ $x - 4 > 0,5$ $x > 4,5$. Находим пересечение решений: $x > 4$ и $x > 4,5$. Общим решением является $x > 4,5$. Ответ: $(4,5; +\infty)$.

е) $\log_{0,25}(x - 3) \le -1$. ОДЗ: $x - 3 > 0 \implies x > 3$. Основание логарифма $0,25 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный. $x - 3 \ge (0,25)^{-1}$ $x - 3 \ge (\frac{1}{4})^{-1}$ $x - 3 \ge 4$ $x \ge 7$. Находим пересечение решений: $x > 3$ и $x \ge 7$. Общим решением является $x \ge 7$. Ответ: $[7; +\infty)$.

6.52 a) $\log_4(x^2 - 3x) < 1;$

В) $\log_{0.5}(x^2 + 7x) \geq -3;$

Д) $\log_5(x^2 - 2x - 3) < 1;$

Б) $\log_6(x^2 + 35x) > 2;$

Г) $\log_{0.25}(x^2 + 3x) \leq -1;$

е) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 4x - 5) \geq -1.$

а) Решим неравенство $log_4(x^2 - 3x) < 1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным.

$x^2 - 3x > 0$

$x(x - 3) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Так как основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства при потенцировании сохраняется.

$x^2 - 3x < 4^1$

$x^2 - 3x - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4, x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 4)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-1, 4) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, +\infty)))$.

Общее решение: $x \in (-1, 0) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (3, 4)$.

б) Решим неравенство $log_6(x^2 + 35x) > 2$.

1. ОДЗ: $x^2 + 35x > 0$

$x(x + 35) > 0$

Решение: $x \in (-\infty, -35) \cup (0, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $6 > 1$, знак сохраняется.

$x^2 + 35x > 6^2$

$x^2 + 35x - 36 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 35x - 36 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = -36$.

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, -36) \cup (1, +\infty)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -36) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -35) \cup (0, +\infty))$.

Общее решение: $x \in (-\infty, -36) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -36) \cup (1, +\infty)$.

в) Решим неравенство $log_{0.5}(x^2 + 7x) \ge -3$.

1. ОДЗ: $x^2 + 7x > 0$

$x(x + 7) > 0$

Решение: $x \in (-\infty, -7) \cup (0, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 + 7x \le (0.5)^{-3}$

$x^2 + 7x \le (1/2)^{-3}$

$x^2 + 7x \le 2^3$

$x^2 + 7x - 8 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = -8$.

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями включительно: $x \in [-8, 1]$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in [-8, 1] \cap ((-\infty, -7) \cup (0, +\infty))$.

Общее решение: $x \in [-8, -7) \cup (0, 1]$.

Ответ: $x \in [-8, -7) \cup (0, 1]$.

г) Решим неравенство $log_{0.25}(x^2 + 3x) \le -1$.

1. ОДЗ: $x^2 + 3x > 0$

$x(x + 3) > 0$

Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $0.25 < 1$, знак неравенства меняется.

$x^2 + 3x \ge (0.25)^{-1}$

$x^2 + 3x \ge (1/4)^{-1}$

$x^2 + 3x \ge 4$

$x^2 + 3x - 4 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = -4$.

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней включительно: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -4] \cup [1, +\infty)) \cap ((-\infty, -3) \cup (0, +\infty))$.

Общее решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

д) Решим неравенство $log_5(x^2 - 2x - 3) < 1$.

1. ОДЗ: $x^2 - 2x - 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $5 > 1$, знак сохраняется.

$x^2 - 2x - 3 < 5^1$

$x^2 - 2x - 8 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-2, 4)$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in (-2, 4) \cap ((-\infty, -1) \cup (3, +\infty))$.

Общее решение: $x \in (-2, -1) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (3, 4)$.

е) Решим неравенство $log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 4x - 5) \ge -1$.

1. ОДЗ: $x^2 - 4x - 5 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$: $x_1 = 5, x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Основание $1/7 < 1$, знак неравенства меняется.

$x^2 - 4x - 5 \le (1/7)^{-1}$

$x^2 - 4x - 5 \le 7$

$x^2 - 4x - 12 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$: $x_1 = 6, x_2 = -2$.

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями включительно: $x \in [-2, 6]$.

3. Находим пересечение решения с ОДЗ: $x \in [-2, 6] \cap ((-\infty, -1) \cup (5, +\infty))$.

Общее решение: $x \in [-2, -1) \cup (5, 6]$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (5, 6]$.

6.53* а) $\log_{\frac{2}{3}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{3}} x \log_{11} x > 0;$

б) $\log_3^2 x - 4 \log_{11} x \log_{12} x > 0;$

в) $\log_2^2 x - 6 \log_5 x \log_9 x > 0;$

г) $\log_3^2 x + 4 \log_4 x \log_5 x + 2 \log_6^2 x > 0.$

а)

Исходное неравенство: $ \log_{\frac{2}{3}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{3}} x \log_{11} x > 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $ x > 0 $.

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию. Удобно использовать натуральный логарифм $ \ln x $. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $ \log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} $.

$ \left(\frac{\ln x}{\ln\frac{2}{3}}\right)^2 + 2 \cdot \frac{\ln x}{\ln\frac{1}{3}} \cdot \frac{\ln x}{\ln 11} > 0 $

Упростим знаменатели: $ \ln\frac{2}{3} = \ln 2 - \ln 3 $ и $ \ln\frac{1}{3} = -\ln 3 $.

$ \frac{\ln^2 x}{(\ln 2 - \ln 3)^2} + \frac{2 \ln^2 x}{(-\ln 3)(\ln 11)} > 0 $

$ \frac{\ln^2 x}{(\ln 3 - \ln 2)^2} - \frac{2 \ln^2 x}{\ln 3 \cdot \ln 11} > 0 $

Вынесем общий множитель $ \ln^2 x $ за скобки:

$ \ln^2 x \left( \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} - \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} \right) > 0 $

Если $ x = 1 $, то $ \ln x = 0 $, и неравенство обращается в неверное равенство $ 0 > 0 $. Значит, $ x \neq 1 $.

Если $ x \neq 1 $, то $ \ln x \neq 0 $, и $ \ln^2 x > 0 $. В этом случае знак всего выражения совпадает со знаком выражения в скобках. Определим знак константы $ C = \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} - \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} $.

Сравним два положительных числа: $ \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} $ и $ \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} $. Это равносильно сравнению $ \ln 3 \cdot \ln 11 $ и $ 2(\ln 3 - \ln 2)^2 $.

Оценим значения: $ \log_3 11 > \log_3 9 = 2 $ и $ \log_3(3/2) = \log_3 3 - \log_3 2 = 1 - \log_3 2 $. Поскольку $ \log_3 2 < 1 $, то $ 1 - \log_3 2 > 0 $. Перейдя к основанию 3, сравним $ \log_3 11 $ и $ 2(1 - \log_3 2)^2 = 2(\log_3(3/2))^2 $.

$ \log_3 11 \approx 2.18 $. $ \log_3 2 \approx 0.63 $. Тогда $ 2(1-0.63)^2 = 2(0.37)^2 = 2 \cdot 0.1369 = 0.2738 $.

Поскольку $ 2.18 > 0.2738 $, то $ \log_3 11 > 2(\log_3(3/2))^2 $. Это означает, что $ \ln 3 \cdot \ln 11 > 2(\ln 3 - \ln 2)^2 $, и $ \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} > \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} $. Таким образом, константа $ C $ положительна.

Неравенство $ \ln^2 x \cdot C > 0 $ при $ C > 0 $ выполняется, когда $ \ln^2 x > 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Учитывая ОДЗ $ x>0 $, получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ \log_3^2 x - 4 \log_{11} x \log_{12} x > 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$ \log_3^2 x - 4 \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 11} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 12} > 0 $

$ \log_3^2 x - \frac{4 \log_3^2 x}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} > 0 $

Вынесем $ \log_3^2 x $ за скобки:

$ \log_3^2 x \left( 1 - \frac{4}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} \right) > 0 $

При $ x = 1 $ получаем неверное неравенство $ 0 > 0 $, значит $ x \neq 1 $. При $ x \neq 1 $ имеем $ \log_3^2 x > 0 $. Знак неравенства определяется знаком выражения в скобках.

Оценим знак константы $ C = 1 - \frac{4}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} $. Для этого сравним $ \log_3 11 \cdot \log_3 12 $ и $ 4 $.

Так как $ 11 > 9 $, то $ \log_3 11 > \log_3 9 = 2 $.

Так как $ 12 > 9 $, то $ \log_3 12 > \log_3 9 = 2 $.

Следовательно, произведение $ \log_3 11 \cdot \log_3 12 > 2 \cdot 2 = 4 $.

Поскольку знаменатель $ \log_3 11 \cdot \log_3 12 $ больше 4, то дробь $ \frac{4}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} < 1 $. Значит, выражение в скобках $ C = 1 - (\text{число} < 1) $ будет положительным.

Неравенство $ \log_3^2 x \cdot C > 0 $ при $ C > 0 $ выполняется, когда $ \log_3^2 x > 0 $, то есть $ \log_3 x \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

С учетом ОДЗ $ x>0 $, получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

в)

Исходное неравенство: $ \log_2^2 x - 6 \log_5 x \log_9 x > 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Приведем логарифмы к основанию 2:

$ \log_2^2 x - 6 \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 5} \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 9} > 0 $

$ \log_2^2 x \left( 1 - \frac{6}{\log_2 5 \cdot \log_2 9} \right) > 0 $

При $ x = 1 $ неравенство неверно, поэтому $ x \neq 1 $. При $ x \neq 1 $ множитель $ \log_2^2 x > 0 $. Знак определяется выражением в скобках.

Оценим знак константы $ C = 1 - \frac{6}{\log_2 5 \cdot \log_2 9} $. Сравним $ \log_2 5 \cdot \log_2 9 $ с $ 6 $.

Упростим $ \log_2 9 = \log_2(3^2) = 2 \log_2 3 $. Сравнение сводится к $ \log_2 5 \cdot 2 \log_2 3 $ с $ 6 $, то есть $ \log_2 5 \cdot \log_2 3 $ с $ 3 $.

Оценим значения логарифмов: $ \log_2 5 > \log_2 4 = 2 $ и $ \log_2 3 > \log_2 2 = 1 $.

Более точные оценки: $ \log_2 3 \approx 1.585 $ и $ \log_2 5 \approx 2.322 $.

$ \log_2 5 \cdot \log_2 3 \approx 2.322 \cdot 1.585 \approx 3.68 > 3 $.

Следовательно, $ \log_2 5 \cdot \log_2 9 = 2 \cdot (\log_2 5 \cdot \log_2 3) > 2 \cdot 3 = 6 $.

Так как $ \log_2 5 \cdot \log_2 9 > 6 $, то $ \frac{6}{\log_2 5 \cdot \log_2 9} < 1 $, и выражение в скобках $ C $ положительно.

Неравенство $ \log_2^2 x \cdot C > 0 $ при $ C > 0 $ выполняется, когда $ \log_2^2 x > 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Учитывая ОДЗ $ x > 0 $, получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

г)

Исходное неравенство: $ \log_3^2 x + 4 \log_4 x \log_5 x + 2 \log_6^2 x > 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к натуральному $ \ln x $:

$ \left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right)^2 + 4 \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} \cdot \frac{\ln x}{\ln 5} + 2 \left(\frac{\ln x}{\ln 6}\right)^2 > 0 $

$ \frac{\ln^2 x}{(\ln 3)^2} + \frac{4 \ln^2 x}{\ln 4 \cdot \ln 5} + \frac{2 \ln^2 x}{(\ln 6)^2} > 0 $

Вынесем $ \ln^2 x $ за скобки:

$ \ln^2 x \left( \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{4}{\ln 4 \cdot \ln 5} + \frac{2}{(\ln 6)^2} \right) > 0 $

При $ x = 1 $ получаем $ 0 > 0 $, что неверно. Следовательно, $ x \neq 1 $. При $ x \neq 1 $ множитель $ \ln^2 x $ всегда положителен.

Рассмотрим выражение в скобках: $ C = \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{4}{\ln 4 \cdot \ln 5} + \frac{2}{(\ln 6)^2} $.

Так как основания логарифмов $ 3, 4, 5, 6 $ больше 1, их натуральные логарифмы $ \ln 3, \ln 4, \ln 5, \ln 6 $ все положительны.

Каждое из трех слагаемых в скобках является положительным числом. Сумма положительных чисел также положительна, следовательно, $ C > 0 $.

Таким образом, неравенство $ \ln^2 x \cdot C > 0 $ (где $ C > 0 $) равносильно неравенству $ \ln^2 x > 0 $.

Это выполняется, когда $ \ln x \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

С учетом ОДЗ ($ x > 0 $), получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

6.54* а) $\log_2 (x^2 - 5x + 4) < 2;$

б) $\log_3 (x^2 - 4x + 3) < 1;$

в) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 10x + 9) > -2;$

г) $\log_{\frac{1}{4}} (2x^2 - 6x + 4) > -1.$

а) $\log_2(x^2 - 5x + 4) < 2$

Решение логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x^2 - 5x + 4 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

2. Решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2:
$2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$
Получаем неравенство: $\log_2(x^2 - 5x + 4) < \log_2(4)$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям под логарифмами:
$x^2 - 5x + 4 < 4$
$x^2 - 5x < 0$
$x(x - 5) < 0$
Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x$, находящихся в интервале между корнями: $x \in (0; 5)$.

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty) \\ x \in (0; 5) \end{cases}$
Пересечением этих множеств является объединение интервалов $(0; 1)$ и $(4; 5)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (4; 5)$.

б) $\log_3(x^2 - 4x + 3) < 1$

1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 4x + 3 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 3:
$1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$
$\log_3(x^2 - 4x + 3) < \log_3(3)$
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 4x + 3 < 3$
$x^2 - 4x < 0$
$x(x - 4) < 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Решение: $x \in (0; 4)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \\ x \in (0; 4) \end{cases}$
Пересечением является $x \in (0; 1) \cup (3; 4)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (3; 4)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 9) > -2$

1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 10x + 9 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$.
Ветви параболы направлены вверх.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим -2 как логарифм по основанию $\frac{1}{3}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}}(3^2) = \log_{\frac{1}{3}}(9)$
$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 9) > \log_{\frac{1}{3}}(9)$
Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 10x + 9 < 9$
$x^2 - 10x < 0$
$x(x - 10) < 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$.
Решение: $x \in (0; 10)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty) \\ x \in (0; 10) \end{cases}$
Пересечением является $x \in (0; 1) \cup (9; 10)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (9; 10)$.

г) $\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 6x + 4) > -1$

1. Найдем ОДЗ:
$2x^2 - 6x + 4 > 0$
Разделим на 2: $x^2 - 3x + 2 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вверх.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим -1 как логарифм по основанию $\frac{1}{4}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{4}}((\frac{1}{4})^{-1}) = \log_{\frac{1}{4}}(4)$
$\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 6x + 4) > \log_{\frac{1}{4}}(4)$
Основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$2x^2 - 6x + 4 < 4$
$2x^2 - 6x < 0$
$2x(x - 3) < 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Решение: $x \in (0; 3)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \\ x \in (0; 3) \end{cases}$
Пересечением является $x \in (0; 1) \cup (2; 3)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; 3)$.

6.55 a) $\log_2(\log_3 x) > 1;$

В) $\log_2(\log_3 x) < 2;$

б) $\log_2(\log_4 x) > -1;$

Г) $\log_3(\log_2 x) < 1.$

а) Решим неравенство $\log_2(\log_3 x) > 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент любого логарифма должен быть строго положительным.
1. Из условия существования внутреннего логарифма $\log_3 x$, имеем $x > 0$.
2. Из условия существования внешнего логарифма $\log_2(\log_3 x)$, имеем $\log_3 x > 0$.
Решим второе неравенство: $\log_3 x > 0$. Представим $0$ как $\log_3 1$. Получим $\log_3 x > \log_3 1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x > 1$, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Теперь решим исходное неравенство $\log_2(\log_3 x) > 1$.
Представим $1$ как $\log_2 2$. Неравенство примет вид: $\log_2(\log_3 x) > \log_2 2$.
Так как основание $2 > 1$, функция логарифма возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\log_3 x > 2$.
Представим $2$ как $2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9$. Неравенство примет вид: $\log_3 x > \log_3 9$.
Так как основание $3 > 1$, то $x > 9$.

Полученное решение $x > 9$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).
Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_2(\log_4 x) > -1$.
Найдем ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_4 x > 0 \implies x > 4^0 \implies x > 1$.
ОДЗ: $x > 1$.

Решим неравенство $\log_2(\log_4 x) > -1$.
Представим $-1$ как $\log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2}$. Получим $\log_2(\log_4 x) > \log_2 \frac{1}{2}$.
Так как основание $2 > 1$, то $\log_4 x > \frac{1}{2}$.
Представим $\frac{1}{2}$ как $\frac{1}{2} \cdot \log_4 4 = \log_4 4^{1/2} = \log_4 2$. Получим $\log_4 x > \log_4 2$.
Так как основание $4 > 1$, то $x > 2$.

Решение $x > 2$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\log_2(\log_3 x) < 2$.
ОДЗ, как и в пункте а): $x > 1$.

Решим неравенство $\log_2(\log_3 x) < 2$.
Представим $2$ как $\log_2 2^2 = \log_2 4$. Получим $\log_2(\log_3 x) < \log_2 4$.
Так как основание $2 > 1$, то $\log_3 x < 4$.
Представим $4$ как $4 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^4 = \log_3 81$. Получим $\log_3 x < \log_3 81$.
Так как основание $3 > 1$, то $x < 81$.

Теперь необходимо совместить полученное решение $x < 81$ с ОДЗ $x > 1$. Получаем двойное неравенство $1 < x < 81$.
Ответ: $x \in (1, 81)$.

г) Решим неравенство $\log_3(\log_2 x) < 1$.
Найдем ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_2 x > 0 \implies x > 2^0 \implies x > 1$.
ОДЗ: $x > 1$.

Решим неравенство $\log_3(\log_2 x) < 1$.
Представим $1$ как $\log_3 3$. Получим $\log_3(\log_2 x) < \log_3 3$.
Так как основание $3 > 1$, то $\log_2 x < 3$.
Представим $3$ как $3 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^3 = \log_2 8$. Получим $\log_2 x < \log_2 8$.
Так как основание $2 > 1$, то $x < 8$.

Совмещаем решение $x < 8$ с ОДЗ $x > 1$. Получаем двойное неравенство $1 < x < 8$.
Ответ: $x \in (1, 8)$.

6.56 a) $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 \le 0;$

б) $\left(\frac{1}{9}\right)^x - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} + 27 < 0;$

в) $25^x - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0;$

г) $16^x + 4^x - 6 > 0;$

д) $(0,25)^x - 5 \cdot (0,5)^x \ge -4;$

е) $3^{2x+3} - 3^{x+1} - 2 < 0.$

а) $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 \le 0$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основанию 2:

$(2^2)^x - 3 \cdot (2^x \cdot 2^1) + 8 \le 0$

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 6t + 8 \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 8$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями (включая их):

$2 \le t \le 4$

Данный интервал удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2 \le 2^x \le 4$

$2^1 \le 2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$1 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [1; 2]$.

б) $(\frac{1}{9})^x - 4 \cdot (\frac{1}{3})^{x-1} + 27 < 0$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основанию $\frac{1}{3}$:

$((\frac{1}{3})^2)^x - 4 \cdot ((\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-1}) + 27 < 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (\frac{1}{3})^x + 27 < 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 12 \cdot (\frac{1}{3})^x + 27 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{3})^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 12t + 27 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 12t + 27 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 12t + 27$ ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями:

$3 < t < 9$

Условие $t > 0$ выполняется.

Вернемся к переменной $x$:

$3 < (\frac{1}{3})^x < 9$

$(\frac{1}{3})^{-1} < (\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^{-2}$

Так как основание степени $\frac{1}{3} < 1$, функция $y=(\frac{1}{3})^x$ убывающая, поэтому знаки неравенства для показателей степени меняются на противоположные:

$-1 > x > -2$, что равносильно $-2 < x < -1$.

Ответ: $x \in (-2; -1)$.

в) $25^x - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0$

Приведем все степени к основанию 5:

$(5^2)^x - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0$

$(5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 \le 0$

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 4t - 5 \le 0$

Корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 5$.

Решение квадратного неравенства: $-1 \le t \le 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 5$.

Возвращаемся к $x$:

$5^x \le 5$

$5^x \le 5^1$

Так как основание $5 > 1$, то $x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

г) $16^x + 4^x - 6 > 0$

Приведем все степени к основанию 4:

$(4^2)^x + 4^x - 6 > 0$

$(4^x)^2 + 4^x - 6 > 0$

Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

$t^2 + t - 6 > 0$

Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Решение квадратного неравенства: $t < -3$ или $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 2$.

Возвращаемся к $x$:

$4^x > 2$

$(2^2)^x > 2^1$

$2^{2x} > 2^1$

Так как основание $2 > 1$, то $2x > 1$, откуда $x > \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

д) $(0,25)^x - 5 \cdot (0,5)^x \ge -4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему основанию 0,5:

$(0,25)^x - 5 \cdot (0,5)^x + 4 \ge 0$

$((0,5)^2)^x - 5 \cdot (0,5)^x + 4 \ge 0$

$((0,5)^x)^2 - 5 \cdot (0,5)^x + 4 \ge 0$

Пусть $t = (0,5)^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 5t + 4 \ge 0$

Корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Решение квадратного неравенства: $t \le 1$ или $t \ge 4$.

Оба интервала удовлетворяют условию $t > 0$ (для первого $0 < t \le 1$).

Рассмотрим два случая:

1) $(0,5)^x \le 1 \implies (0,5)^x \le (0,5)^0$. Так как основание $0,5 < 1$, то $x \ge 0$.

2) $(0,5)^x \ge 4 \implies (\frac{1}{2})^x \ge 4 \implies 2^{-x} \ge 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то $-x \ge 2$, откуда $x \le -2$.

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

е) $3^{2x+3} - 3^{x+1} - 2 < 0$

Преобразуем неравенство:

$3^{2x} \cdot 3^3 - 3^x \cdot 3^1 - 2 < 0$

$27 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 2 < 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$27t^2 - 3t - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $27t^2 - 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-2) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.

$t_1 = \frac{3 - 15}{2 \cdot 27} = \frac{-12}{54} = -\frac{2}{9}$

$t_2 = \frac{3 + 15}{2 \cdot 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$

Решение квадратного неравенства: $-\frac{2}{9} < t < \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к $x$:

$3^x < \frac{1}{3}$

$3^x < 3^{-1}$

Так как основание $3 > 1$, то $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

6.57 a) $\frac{1}{2^x-1} + 2^x > 3;$

б) $\frac{-2}{2^x-2} + 2^x < 3;$

в) $\frac{4}{9^x-1} + 9^x > 5;$

г) $\frac{12}{9^x-3} + 7 > 9^x.$

а) $ \frac{1}{2^x - 1} + 2^x > 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ 2^x - 1 \neq 0 $, что означает $ 2^x \neq 1 $, и следовательно $ x \neq 0 $. В терминах переменной $t$, это $ t - 1 \neq 0 $, то есть $ t \neq 1 $.

Перепишем неравенство с новой переменной:

$ \frac{1}{t - 1} + t > 3 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{t - 1} + t - 3 > 0 $

$ \frac{1 + (t - 3)(t - 1)}{t - 1} > 0 $

$ \frac{1 + t^2 - t - 3t + 3}{t - 1} > 0 $

$ \frac{t^2 - 4t + 4}{t - 1} > 0 $

Числитель является полным квадратом: $ t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 $.

$ \frac{(t - 2)^2}{t - 1} > 0 $

Данное неравенство решаем методом интервалов. Числитель $ (t - 2)^2 \ge 0 $ при всех $t$. Неравенство строгое, поэтому числитель не должен быть равен нулю, то есть $ (t-2)^2 \neq 0 $, что дает $ t \neq 2 $.

Чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть положительным: $ t - 1 > 0 $, то есть $ t > 1 $.

Таким образом, мы получаем условия для $t$: $ t > 1 $ и $ t \neq 2 $. Это соответствует объединению интервалов $ (1, 2) \cup (2, \infty) $.

Теперь выполним обратную замену $ t = 2^x $.

1) $ 1 < t < 2 \implies 1 < 2^x < 2 \implies 2^0 < 2^x < 2^1 \implies 0 < x < 1 $.

2) $ t > 2 \implies 2^x > 2 \implies 2^x > 2^1 \implies x > 1 $.

Объединяя эти решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x \in (0, 1) \cup (1, \infty) $.

б) $ \frac{-2}{2^x - 2} + 2^x < 3 $

Пусть $ t = 2^x $, где $ t > 0 $.

ОДЗ: $ 2^x - 2 \neq 0 \implies 2^x \neq 2 \implies x \neq 1 $. В терминах $t$, это $ t \neq 2 $.

Подставляем $t$ в неравенство:

$ \frac{-2}{t - 2} + t < 3 $

Переносим все в левую часть:

$ \frac{-2}{t - 2} + t - 3 < 0 $

$ \frac{-2 + (t - 3)(t - 2)}{t - 2} < 0 $

$ \frac{-2 + t^2 - 5t + 6}{t - 2} < 0 $

$ \frac{t^2 - 5t + 4}{t - 2} < 0 $

Найдем корни числителя: $ t^2 - 5t + 4 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1, t_2 = 4 $. Тогда числитель раскладывается на множители $ (t - 1)(t - 4) $.

$ \frac{(t - 1)(t - 4)}{t - 2} < 0 $

Решаем методом интервалов для $t$. Критические точки: $ t=1, t=2, t=4 $. С учетом условия $ t>0 $, проверяем знаки выражения на интервалах. Выражение отрицательно на интервалах $ (0, 1) $ и $ (2, 4) $.

Таким образом, решение для $t$ это $ t \in (0, 1) \cup (2, 4) $.

Выполняем обратную замену $ t = 2^x $.

1) $ 0 < t < 1 \implies 0 < 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0 $.

2) $ 2 < t < 4 \implies 2 < 2^x < 4 \implies 2^1 < 2^x < 2^2 \implies 1 < x < 2 $.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2) $.

в) $ \frac{4}{9^x - 1} + 9^x > 5 $

Сделаем замену $ t = 9^x $, где $ t > 0 $.

ОДЗ: $ 9^x - 1 \neq 0 \implies 9^x \neq 1 \implies x \neq 0 $. В терминах $t$, это $ t \neq 1 $.

Подставляем $t$ в неравенство:

$ \frac{4}{t - 1} + t > 5 $

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$ \frac{4}{t - 1} + t - 5 > 0 $

$ \frac{4 + (t - 5)(t - 1)}{t - 1} > 0 $

$ \frac{4 + t^2 - 6t + 5}{t - 1} > 0 $

$ \frac{t^2 - 6t + 9}{t - 1} > 0 $

Числитель является полным квадратом: $ t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2 $.

$ \frac{(t - 3)^2}{t - 1} > 0 $

Так как числитель $ (t - 3)^2 $ всегда неотрицателен, для выполнения строгого неравенства он должен быть строго больше нуля, то есть $ t \neq 3 $. Чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть положительным: $ t - 1 > 0 $, то есть $ t > 1 $.

Таким образом, получаем условия для $t$: $ t > 1 $ и $ t \neq 3 $. Решением является $ t \in (1, 3) \cup (3, \infty) $.

Выполняем обратную замену $ t = 9^x $.

1) $ 1 < t < 3 \implies 1 < 9^x < 3 \implies 9^0 < 9^x < 9^{1/2} \implies 0 < x < \frac{1}{2} $.

2) $ t > 3 \implies 9^x > 3 \implies 9^x > 9^{1/2} \implies x > \frac{1}{2} $.

Объединяем решения.

Ответ: $ x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty) $.

г) $ \frac{12}{9^x - 3} + 7 > 9^x $

Пусть $ t = 9^x $, где $ t > 0 $.

ОДЗ: $ 9^x - 3 \neq 0 \implies 9^x \neq 3 \implies (3^2)^x \neq 3^1 \implies 3^{2x} \neq 3^1 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2} $. В терминах $t$, это $ t \neq 3 $.

Подставляем $t$ в неравенство:

$ \frac{12}{t - 3} + 7 > t $

Переносим все в левую часть:

$ \frac{12}{t - 3} + 7 - t > 0 $

$ \frac{12 + (7 - t)(t - 3)}{t - 3} > 0 $

$ \frac{12 + 7t - 21 - t^2 + 3t}{t - 3} > 0 $

$ \frac{-t^2 + 10t - 9}{t - 3} > 0 $

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$ \frac{t^2 - 10t + 9}{t - 3} < 0 $

Найдем корни числителя: $ t^2 - 10t + 9 = 0 $. Корни $ t_1 = 1, t_2 = 9 $. Раскладываем числитель на множители $ (t - 1)(t - 9) $.

$ \frac{(t - 1)(t - 9)}{t - 3} < 0 $

Решаем методом интервалов для $t$. Критические точки: $ t=1, t=3, t=9 $. С учетом условия $ t>0 $, проверяем знаки выражения на интервалах. Выражение отрицательно на интервалах $ (0, 1) $ и $ (3, 9) $.

Таким образом, решение для $t$ это $ t \in (0, 1) \cup (3, 9) $.

Выполняем обратную замену $ t = 9^x $.

1) $ 0 < t < 1 \implies 0 < 9^x < 1 \implies 9^x < 9^0 \implies x < 0 $.

2) $ 3 < t < 9 \implies 3 < 9^x < 9 \implies 9^{1/2} < 9^x < 9^1 \implies \frac{1}{2} < x < 1 $.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 1) $.

6.58 а) $\frac{4}{3^x - 1} - \frac{3}{3^x - 3} \ge 0;$

б) $\frac{3}{2^x - 1} - \frac{2}{2^x - 2} \le 0;$

В) $\frac{3}{5^x + 1} - \frac{2}{5^x - 1} \ge 0;$

Г) $\frac{1}{2^x} + \frac{1}{2^x - 4} \le 0.$

а)

Исходное неравенство: $\frac{4}{3^x - 1} - \frac{3}{3^x - 3} \ge 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(3^x - 1)(3^x - 3)$:

$\frac{4(3^x - 3) - 3(3^x - 1)}{(3^x - 1)(3^x - 3)} \ge 0$

Упростим числитель: $4 \cdot 3^x - 12 - 3 \cdot 3^x + 3 = 3^x - 9$.

Неравенство принимает вид: $\frac{3^x - 9}{(3^x - 1)(3^x - 3)} \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем рациональное неравенство относительно $t$: $\frac{t - 9}{(t - 1)(t - 3)} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $t=9$. Корни знаменателя: $t=1, t=3$.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах, учитывая условие $t > 0$.

При $t > 9$ выражение положительно. При $3 < t < 9$ – отрицательно. При $1 < t < 3$ – положительно. При $0 < t < 1$ – отрицательно.

Выбираем интервалы, где выражение не меньше нуля: $t \in (1, 3) \cup [9, \infty)$.

Выполним обратную замену:

1) $1 < t < 3 \implies 1 < 3^x < 3 \implies 3^0 < 3^x < 3^1 \implies 0 < x < 1$.

2) $t \ge 9 \implies 3^x \ge 9 \implies 3^x \ge 3^2 \implies x \ge 2$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup [2, \infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{3}{2^x - 1} - \frac{2}{2^x - 2} \le 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2^x - 1)(2^x - 2)$:

$\frac{3(2^x - 2) - 2(2^x - 1)}{(2^x - 1)(2^x - 2)} \le 0$

Упростим числитель: $3 \cdot 2^x - 6 - 2 \cdot 2^x + 2 = 2^x - 4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2^x - 4}{(2^x - 1)(2^x - 2)} \le 0$.

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.

$\frac{t - 4}{(t - 1)(t - 2)} \le 0$.

Решим методом интервалов. Корни числителя: $t=4$. Корни знаменателя: $t=1, t=2$.

Определим знаки на интервалах для $t > 0$:

При $t > 4$ выражение положительно. При $2 < t < 4$ – отрицательно. При $1 < t < 2$ – положительно. При $0 < t < 1$ – отрицательно.

Выбираем интервалы, где выражение не больше нуля: $t \in (0, 1) \cup (2, 4]$.

Выполним обратную замену:

1) $0 < t < 1 \implies 0 < 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.

2) $2 < t \le 4 \implies 2 < 2^x \le 4 \implies 2^1 < 2^x \le 2^2 \implies 1 < x \le 2$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2]$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{3}{5^x + 1} - \frac{2}{5^x - 1} \ge 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(5^x + 1)(5^x - 1)$:

$\frac{3(5^x - 1) - 2(5^x + 1)}{(5^x + 1)(5^x - 1)} \ge 0$

Упростим числитель: $3 \cdot 5^x - 3 - 2 \cdot 5^x - 2 = 5^x - 5$.

Неравенство принимает вид: $\frac{5^x - 5}{(5^x + 1)(5^x - 1)} \ge 0$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$.

$\frac{t - 5}{(t + 1)(t - 1)} \ge 0$.

Так как $t=5^x>0$, то $t+1$ всегда больше 0. Поэтому знак выражения зависит только от $\frac{t-5}{t-1}$.

Решим неравенство $\frac{t - 5}{t - 1} \ge 0$ методом интервалов. Корни: $t=1, t=5$.

Выражение положительно при $t > 5$ и при $t < 1$. Учитывая $t>0$, получаем решение для $t$: $t \in (0, 1) \cup [5, \infty)$.

Выполним обратную замену:

1) $0 < t < 1 \implies 0 < 5^x < 1 \implies 5^x < 5^0 \implies x < 0$.

2) $t \ge 5 \implies 5^x \ge 5 \implies 5^x \ge 5^1 \implies x \ge 1$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{1}{2^x} + \frac{1}{2^x - 4} \le 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2^x(2^x - 4)$:

$\frac{2^x - 4 + 2^x}{2^x(2^x - 4)} \le 0$

Упростим числитель: $2 \cdot 2^x - 4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2 \cdot 2^x - 4}{2^x(2^x - 4)} \le 0$.

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.

$\frac{2t - 4}{t(t - 4)} \le 0$.

Так как $t=2^x>0$, то множитель $t$ в знаменателе всегда положителен и не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно:

$\frac{2(t - 2)}{t - 4} \le 0 \implies \frac{t - 2}{t - 4} \le 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $t=2, t=4$.

Выражение отрицательно при $2 < t < 4$. Учитывая знак $\le$, получаем решение для $t$: $t \in [2, 4)$.

Выполним обратную замену:

$2 \le t < 4 \implies 2 \le 2^x < 4 \implies 2^1 \le 2^x < 2^2 \implies 1 \le x < 2$.

Ответ: $x \in [1, 2)$.

6.59 a) $\frac{1}{\lg (3x + 1)} + \frac{2}{\lg (3x + 1) + \lg 0,01} > -1$;

б) $\frac{1}{\lg (9x + 10)} + \frac{4}{\lg (9x + 10) + \lg 0,001} < -1$;

В) $\frac{4}{\lg (3x - 2) + 2} + \frac{6}{\lg (3x - 2) - 3} \ge -5$;

Г) $\frac{6}{\lg (9x + 1) + 2} - \frac{6}{\lg (9x + 1) - 3} \le 5$.

а)

Решим неравенство $\frac{1}{\lg(3x+1)} + \frac{2}{\lg(3x+1) + \lg 0.01} > -1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть положителен: $3x+1 > 0 \implies x > -1/3$.
Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\lg(3x+1) \neq 0 \implies 3x+1 \neq 1 \implies x \neq 0$.
$\lg(3x+1) + \lg 0.01 \neq 0$. Так как $\lg 0.01 = \lg 10^{-2} = -2$, то $\lg(3x+1) - 2 \neq 0 \implies \lg(3x+1) \neq 2 \implies 3x+1 \neq 10^2 \implies 3x \neq 99 \implies x \neq 33$.
ОДЗ: $x \in (-1/3, 0) \cup (0, 33) \cup (33, +\infty)$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg(3x+1)$. Неравенство примет вид:
$\frac{1}{t} + \frac{2}{t - 2} > -1$

3. Решим полученное неравенство относительно $t$:
$\frac{1}{t} + \frac{2}{t - 2} + 1 > 0$
$\frac{t-2 + 2t + t(t-2)}{t(t-2)} > 0$
$\frac{t-2 + 2t + t^2 - 2t}{t(t-2)} > 0$
$\frac{t^2 + t - 2}{t(t-2)} > 0$
Разложим числитель на множители: $t^2 + t - 2 = (t+2)(t-1)$.
$\frac{(t+2)(t-1)}{t(t-2)} > 0$
Методом интервалов находим решение для $t$. Корни числителя: -2, 1. Корни знаменателя: 0, 2.
На числовой прямой отмечаем точки -2, 0, 1, 2. Они разбивают прямую на интервалы. Определяем знаки выражения в каждом интервале:
$(-\infty, -2): +$
$(-2, 0): -$
$(0, 1): +$
$(1, 2): -$
$(2, +\infty): +$
Решение для $t$: $t \in (-\infty, -2) \cup (0, 1) \cup (2, +\infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $t < -2 \implies \lg(3x+1) < -2 \implies 0 < 3x+1 < 10^{-2} \implies -1 < 3x < -0.99 \implies -1/3 < x < -0.33$.
Случай 2: $0 < t < 1 \implies 0 < \lg(3x+1) < 1 \implies 1 < 3x+1 < 10 \implies 0 < 3x < 9 \implies 0 < x < 3$.
Случай 3: $t > 2 \implies \lg(3x+1) > 2 \implies 3x+1 > 10^2 \implies 3x > 99 \implies x > 33$.
Объединяя все случаи и учитывая ОДЗ, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-1/3, -0.33) \cup (0, 3) \cup (33, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{1}{\lg(9x+10)} + \frac{4}{\lg(9x+10) + \lg 0.001} < -1$.

1. ОДЗ:
$9x+10 > 0 \implies x > -10/9$.
$\lg(9x+10) \neq 0 \implies 9x+10 \neq 1 \implies x \neq -1$.
$\lg(9x+10) + \lg 0.001 \neq 0$. Так как $\lg 0.001 = -3$, то $\lg(9x+10) \neq 3 \implies 9x+10 \neq 1000 \implies x \neq 110$.
ОДЗ: $x \in (-10/9, -1) \cup (-1, 110) \cup (110, +\infty)$.

2. Замена: $t = \lg(9x+10)$.
$\frac{1}{t} + \frac{4}{t - 3} < -1$

3. Решение для $t$:
$\frac{1}{t} + \frac{4}{t - 3} + 1 < 0$
$\frac{t-3 + 4t + t(t-3)}{t(t-3)} < 0$
$\frac{t^2 + 2t - 3}{t(t-3)} < 0$
$\frac{(t+3)(t-1)}{t(t-3)} < 0$
Методом интервалов (корни -3, 1, 0, 3) получаем: $t \in (-3, 0) \cup (1, 3)$.

4. Обратная замена:
Случай 1: $-3 < t < 0 \implies -3 < \lg(9x+10) < 0 \implies 10^{-3} < 9x+10 < 1 \implies -9.999 < 9x < -9 \implies -1.111 < x < -1$.
Случай 2: $1 < t < 3 \implies 1 < \lg(9x+10) < 3 \implies 10 < 9x+10 < 1000 \implies 0 < 9x < 990 \implies 0 < x < 110$.
Решение удовлетворяет ОДЗ, так как $-10/9 \approx -1.111...$, а $-1.111 = -9.999/9 > -10/9$.

Ответ: $x \in (-1.111, -1) \cup (0, 110)$.

в)

Решим неравенство $\frac{4}{\lg(3x-2)+2} + \frac{6}{\lg(3x-2)-3} \ge -5$.

1. ОДЗ:
$3x-2 > 0 \implies x > 2/3$.
$\lg(3x-2) \neq -2 \implies 3x-2 \neq 0.01 \implies 3x \neq 2.01 \implies x \neq 0.67$.
$\lg(3x-2) \neq 3 \implies 3x-2 \neq 1000 \implies 3x \neq 1002 \implies x \neq 334$.
ОДЗ: $x \in (2/3, 0.67) \cup (0.67, 334) \cup (334, +\infty)$. ( $2/3 \approx 0.667$ )

2. Замена: $t = \lg(3x-2)$.
$\frac{4}{t+2} + \frac{6}{t-3} \ge -5$

3. Решение для $t$:
$\frac{4}{t+2} + \frac{6}{t-3} + 5 \ge 0$
$\frac{4(t-3)+6(t+2)+5(t+2)(t-3)}{(t+2)(t-3)} \ge 0$
$\frac{10t + 5(t^2-t-6)}{(t+2)(t-3)} \ge 0$
$\frac{5t^2+5t-30}{(t+2)(t-3)} \ge 0$
$\frac{t^2+t-6}{(t+2)(t-3)} \ge 0 \implies \frac{(t+3)(t-2)}{(t+2)(t-3)} \ge 0$
Методом интервалов (корни числителя -3, 2; корни знаменателя -2, 3) получаем: $t \in (-\infty, -3] \cup (-2, 2] \cup (3, +\infty)$.

4. Обратная замена:
Случай 1: $t \le -3 \implies \lg(3x-2) \le -3 \implies 0 < 3x-2 \le 0.001 \implies 2/3 < x \le 2.001/3 \implies 2/3 < x \le 0.667$.
Случай 2: $-2 < t \le 2 \implies -2 < \lg(3x-2) \le 2 \implies 0.01 < 3x-2 \le 100 \implies 2.01 < 3x \le 102 \implies 0.67 < x \le 34$.
Случай 3: $t > 3 \implies \lg(3x-2) > 3 \implies 3x-2 > 1000 \implies 3x > 1002 \implies x > 334$.
Решение согласуется с ОДЗ.

Ответ: $x \in (2/3, 0.667] \cup (0.67, 34] \cup (334, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{6}{\lg(9x+1)+2} - \frac{6}{\lg(9x+1)-3} \le 5$.

1. ОДЗ:
$9x+1 > 0 \implies x > -1/9$.
$\lg(9x+1) \neq -2 \implies 9x+1 \neq 0.01 \implies 9x \neq -0.99 \implies x \neq -0.11$.
$\lg(9x+1) \neq 3 \implies 9x+1 \neq 1000 \implies 9x \neq 999 \implies x \neq 111$.
ОДЗ: $x \in (-1/9, -0.11) \cup (-0.11, 111) \cup (111, +\infty)$. ( $-1/9 \approx -0.111...$ )

2. Замена: $t = \lg(9x+1)$.
$\frac{6}{t+2} - \frac{6}{t-3} \le 5$

3. Решение для $t$:
$\frac{6(t-3)-6(t+2)}{(t+2)(t-3)} - 5 \le 0$
$\frac{-30}{(t+2)(t-3)} - 5 \le 0$
Делим на -5 и меняем знак неравенства:
$\frac{6}{(t+2)(t-3)} + 1 \ge 0$
$\frac{6 + t^2-t-6}{(t+2)(t-3)} \ge 0$
$\frac{t(t-1)}{(t+2)(t-3)} \ge 0$
Методом интервалов (корни числителя 0, 1; корни знаменателя -2, 3) получаем: $t \in (-\infty, -2) \cup [0, 1] \cup (3, +\infty)$.

4. Обратная замена:
Случай 1: $t < -2 \implies \lg(9x+1) < -2 \implies 0 < 9x+1 < 0.01 \implies -1 < 9x < -0.99 \implies -1/9 < x < -0.11$.
Случай 2: $0 \le t \le 1 \implies 0 \le \lg(9x+1) \le 1 \implies 1 \le 9x+1 \le 10 \implies 0 \le 9x \le 9 \implies 0 \le x \le 1$.
Случай 3: $t > 3 \implies \lg(9x+1) > 3 \implies 9x+1 > 1000 \implies 9x > 999 \implies x > 111$.
Решение согласуется с ОДЗ.

Ответ: $x \in (-1/9, -0.11) \cup [0, 1] \cup (111, +\infty)$.