Страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (6.45—6.62):

6.45 a) $5^{3x+5} > 25;$

б) $6^{6x-4} < 36;$

в) $(\frac{2}{5})^{x-3} > \frac{8}{125};$

г) $(\frac{3}{5})^{3x-7} < \frac{9}{25}.$

а) $5^{3x+5} > 25$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим число 25 как степень с основанием 5:

$25 = 5^2$

Теперь неравенство выглядит так:

$5^{3x+5} > 5^2$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$3x + 5 > 2$

Решим это линейное неравенство:

$3x > 2 - 5$

$3x > -3$

$x > \frac{-3}{3}$

$x > -1$

Решение можно записать в виде интервала: $x \in (-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) $6^{6x-4} < 36$

Приведем обе части неравенства к основанию 6.

Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Неравенство принимает вид:

$6^{6x-4} < 6^2$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция $y=6^t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$6x - 4 < 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$6x < 2 + 4$

$6x < 6$

$x < \frac{6}{6}$

$x < 1$

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

в) $(\frac{2}{5})^{x-3} > \frac{8}{125}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{5}$.

Представим дробь $\frac{8}{125}$ как степень с основанием $\frac{2}{5}$:

$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = (\frac{2}{5})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{5})^{x-3} > (\frac{2}{5})^3$

Основание степени $a = \frac{2}{5}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x - 3 < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$x < 3 + 3$

$x < 6$

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

г) $(\frac{3}{5})^{3x-7} < \frac{9}{25}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{3}{5}$.

Представим дробь $\frac{9}{25}$ как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = (\frac{3}{5})^2$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{5})^{3x-7} < (\frac{3}{5})^2$

Основание степени $a = \frac{3}{5}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{3}{5})^t$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 7 > 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x > 2 + 7$

$3x > 9$

$x > \frac{9}{3}$

$x > 3$

Решение в виде интервала: $x \in (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

6.46 а) $(0,25)^x \le \frac{1}{8};$

б) $\frac{1}{5^x} \ge 0,04;$;

в) $9 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{2+3x} \ge \frac{1}{81};$

г) $4 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{2+5x} \le \frac{1}{16}.$

а) Для решения неравенства $(0,25)^x \le \frac{1}{8}$ приведем обе части к одному основанию. Удобно использовать основание 2.
Представим $0,25$ как степень двойки: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$(2^{-2})^x \le 2^{-3}$
$2^{-2x} \le 2^{-3}$
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$-2x \le -3$
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{-3}{-2}$
$x \ge \frac{3}{2}$
$x \ge 1,5$
Ответ: $x \in [1,5; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $\frac{1}{5^x} \ge 0,04$ приведем обе части к одному основанию 5.
Представим левую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5^x} = 5^{-x}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.
Подставим полученные выражения в неравенство:
$5^{-x} \ge 5^{-2}$
Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-x \ge -2$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

в) Для решения неравенства $9 \cdot (\frac{1}{27})^{2+3x} \ge \frac{1}{81}$ приведем все члены к основанию 3.
$9 = 3^2$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
Подставим эти значения в неравенство:
$3^2 \cdot (3^{-3})^{2+3x} \ge 3^{-4}$
Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^2 \cdot 3^{-3(2+3x)} \ge 3^{-4}$
$3^{2 + (-3(2+3x))} \ge 3^{-4}$
$3^{2 - 6 - 9x} \ge 3^{-4}$
$3^{-4 - 9x} \ge 3^{-4}$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-4 - 9x \ge -4$
$-9x \ge 0$
Разделим на -9 и сменим знак неравенства:
$x \le 0$
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

г) Для решения неравенства $4 \cdot (\frac{1}{8})^{2+5x} \le \frac{1}{16}$ приведем все члены к основанию 2.
$4 = 2^2$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$
Подставим эти значения в неравенство:
$2^2 \cdot (2^{-3})^{2+5x} \le 2^{-4}$
Упростим левую часть, используя свойства степеней:
$2^2 \cdot 2^{-3(2+5x)} \le 2^{-4}$
$2^{2 - 3(2+5x)} \le 2^{-4}$
$2^{2 - 6 - 15x} \le 2^{-4}$
$2^{-4 - 15x} \le 2^{-4}$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-4 - 15x \le -4$
$-15x \le 0$
Разделим на -15 и сменим знак неравенства:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

6.47* a) $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{81}\right)^{3-2x} < 9$;

б) $\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{4x-3} > 32$;

В) $3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} < \frac{1}{9}$;

Г) $\frac{0,5}{(\sqrt{2})^{3x-4}} > 4$.

а) Запишем исходное неравенство: $ \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{81})^{3-2x} < 9 $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 3.
$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, $ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} $, $ 9 = 3^2 $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ 3^{-1} \cdot (3^{-4})^{3-2x} < 3^2 $.
Упростим левую часть, используя свойства степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ 3^{-1} \cdot 3^{-4(3-2x)} < 3^2 $
$ 3^{-1} \cdot 3^{-12+8x} < 3^2 $
$ 3^{-1-12+8x} < 3^2 $
$ 3^{8x-13} < 3^2 $.
Так как основание степени $ 3 > 1 $, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$ 8x - 13 < 2 $
$ 8x < 15 $
$ x < \frac{15}{8} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{15}{8}) $.

б) Запишем исходное неравенство: $ \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{8})^{4x-3} > 32 $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 2.
$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $, $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $, $ 32 = 2^5 $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ 2^{-2} \cdot (2^{-3})^{4x-3} > 2^5 $.
Упростим левую часть:
$ 2^{-2} \cdot 2^{-3(4x-3)} > 2^5 $
$ 2^{-2} \cdot 2^{-12x+9} > 2^5 $
$ 2^{-2-12x+9} > 2^5 $
$ 2^{-12x+7} > 2^5 $.
Так как основание степени $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ -12x + 7 > 5 $
$ -12x > 5 - 7 $
$ -12x > -2 $.
Разделим обе части на -12 и сменим знак неравенства на противоположный:
$ x < \frac{-2}{-12} $
$ x < \frac{1}{6} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{1}{6}) $.

в) Запишем исходное неравенство: $ 3 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^{2-3x} < \frac{1}{9} $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 3.
$ 3 = 3^1 $, $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2} $, $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ 3^1 \cdot (3^{-1/2})^{2-3x} < 3^{-2} $.
Упростим левую часть:
$ 3^1 \cdot 3^{(-1/2)(2-3x)} < 3^{-2} $
$ 3^1 \cdot 3^{-1+\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $
$ 3^{1-1+\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $
$ 3^{\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $.
Так как основание степени $ 3 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ \frac{3}{2}x < -2 $
$ x < -2 \cdot \frac{2}{3} $
$ x < -\frac{4}{3} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) $.

г) Запишем исходное неравенство: $ \frac{0,5}{(\sqrt{2})^{3x-4}} > 4 $.
Представим все части неравенства в виде степеней с основанием 2.
$ 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $, $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $, $ 4 = 2^2 $.
Подставим эти значения в неравенство:
$ \frac{2^{-1}}{(2^{1/2})^{3x-4}} > 2^2 $.
Упростим левую часть, используя свойства степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{2^{-1}}{2^{(1/2)(3x-4)}} > 2^2 $
$ \frac{2^{-1}}{2^{\frac{3}{2}x-2}} > 2^2 $
$ 2^{-1-(\frac{3}{2}x-2)} > 2^2 $
$ 2^{-1-\frac{3}{2}x+2} > 2^2 $
$ 2^{1-\frac{3}{2}x} > 2^2 $.
Так как основание степени $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ 1 - \frac{3}{2}x > 2 $
$ -\frac{3}{2}x > 2 - 1 $
$ -\frac{3}{2}x > 1 $.
Умножим обе части на $ -\frac{2}{3} $ и сменим знак неравенства на противоположный:
$ x < 1 \cdot (-\frac{2}{3}) $
$ x < -\frac{2}{3} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) $.

6.48 а) $125 \cdot 3^{2x-7} - 27 \cdot 5^{2x-7} > 0;$

б) $81 \cdot 5^{7x-5} - 25 \cdot 9^{7x-5} < 0;$

В) $72 \cdot 5^{4x+2} - 50 \cdot 6^{4x+2} < 0;$

Г) $162 \cdot 2^{3x+1} - 32 \cdot 3^{3x+1} > 0;$

Д) $4 \cdot 9^{6x-4} - 9 \cdot 6^{6x-4} > 0;$

е) $27 \cdot 4^{2x-1} - 8 \cdot 6^{2x-1} < 0.$

а) Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:

$125 \cdot 3^{2x-7} > 27 \cdot 5^{2x-7}$

Разделим обе части неравенства на $5^{2x-7}$. Так как $5^{2x-7} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не меняется:

$125 \cdot \frac{3^{2x-7}}{5^{2x-7}} > 27$

$125 \cdot (\frac{3}{5})^{2x-7} > 27$

Теперь разделим обе части на 125:

$(\frac{3}{5})^{2x-7} > \frac{27}{125}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{27}{125} = \frac{3^3}{5^3} = (\frac{3}{5})^3$

Получаем неравенство:

$(\frac{3}{5})^{2x-7} > (\frac{3}{5})^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 7 < 3$

$2x < 10$

$x < 5$

Ответ: $(-\infty; 5)$.

б) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$81 \cdot 5^{7x-5} < 25 \cdot 9^{7x-5}$

Разделим обе части на $9^{7x-5}$ (положительное выражение) и на 81:

$\frac{5^{7x-5}}{9^{7x-5}} < \frac{25}{81}$

$(\frac{5}{9})^{7x-5} < \frac{25}{81}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{9}$:

$\frac{25}{81} = \frac{5^2}{9^2} = (\frac{5}{9})^2$

Получаем неравенство:

$(\frac{5}{9})^{7x-5} < (\frac{5}{9})^2$

Основание $0 < \frac{5}{9} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей, и при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$7x - 5 > 2$

$7x > 7$

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.

в) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$72 \cdot 5^{4x+2} < 50 \cdot 6^{4x+2}$

Разделим обе части на $6^{4x+2}$ (положительное выражение) и на 72:

$(\frac{5}{6})^{4x+2} < \frac{50}{72}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{50}{72} = \frac{25}{36}$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{6}$:

$\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$

Получаем неравенство:

$(\frac{5}{6})^{4x+2} < (\frac{5}{6})^2$

Основание $0 < \frac{5}{6} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$4x + 2 > 2$

$4x > 0$

$x > 0$

Ответ: $(0; +\infty)$.

г) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$162 \cdot 2^{3x+1} > 32 \cdot 3^{3x+1}$

Разделим обе части на $3^{3x+1}$ (положительное выражение) и на 162:

$(\frac{2}{3})^{3x+1} > \frac{32}{162}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{32}{162} = \frac{16}{81}$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{3})^{3x+1} > (\frac{2}{3})^4$

Основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$3x + 1 < 4$

$3x < 3$

$x < 1$

Ответ: $(-\infty; 1)$.

д) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$4 \cdot 9^{6x-4} > 9 \cdot 6^{6x-4}$

Разделим обе части на $6^{6x-4}$ (положительное выражение) и на 4:

$(\frac{9}{6})^{6x-4} > \frac{9}{4}$

Упростим основание степени: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

$(\frac{3}{2})^{6x-4} > \frac{9}{4}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{2}$:

$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$

Получаем неравенство:

$(\frac{3}{2})^{6x-4} > (\frac{3}{2})^2$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$6x - 4 > 2$

$6x > 6$

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.

е) Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$27 \cdot 4^{2x-1} < 8 \cdot 6^{2x-1}$

Разделим обе части на $6^{2x-1}$ (положительное выражение) и на 27:

$(\frac{4}{6})^{2x-1} < \frac{8}{27}$

Упростим основание степени: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$(\frac{2}{3})^{2x-1} < \frac{8}{27}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{3})^{2x-1} < (\frac{2}{3})^3$

Основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$2x - 1 > 3$

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $(2; +\infty)$.

6.49 a) $7^{4x^2 - 9x + 6} > 7;$

б) $3^{3x^2 - 7x + 6} < 9;$

в) $(\frac{1}{3})^{5x^2 - 4x - 3} > 9;$

г) $(\frac{1}{2})^{2x^2 + 3x - 6} < 2.$

a) Решим показательное неравенство $7^{4x^2 - 9x + 6} > 7$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 7: $7 = 7^1$. Неравенство примет вид: $7^{4x^2 - 9x + 6} > 7^1$.
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$4x^2 - 9x + 6 > 1$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$4x^2 - 9x + 5 > 0$
Теперь решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 9x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$;
$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
График функции $y = 4x^2 - 9x + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $4 > 0$). Следовательно, значения функции положительны (больше нуля) при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.
Таким образом, решением неравенства является $x < 1$ или $x > \frac{5}{4}$.
Ответ: $(-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; +\infty)$.

б) Решим показательное неравенство $3^{3x^2 - 7x + 6} < 9$.
Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$. Неравенство принимает вид:
$3^{3x^2 - 7x + 6} < 3^2$.
Поскольку основание $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$3x^2 - 7x + 6 < 2$
$3x^2 - 7x + 4 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$;
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
График функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ — парабола с ветвями вверх ($3 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $1 < x < \frac{4}{3}$.
Ответ: $(1; \frac{4}{3})$.

в) Решим показательное неравенство $(\frac{1}{3})^{5x^2 - 4x - 3} > 9$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно использовать основание 3. Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$.
$(3^{-1})^{5x^2 - 4x - 3} > 3^2$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$3^{-(5x^2 - 4x - 3)} > 3^2$
$3^{-5x^2 + 4x + 3} > 3^2$
Основание $3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:
$-5x^2 + 4x + 3 > 2$
$-5x^2 + 4x + 1 > 0$
Чтобы сделать старший коэффициент положительным, умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$5x^2 - 4x - 1 < 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$;
$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
График $y = 5x^2 - 4x - 1$ — парабола с ветвями вверх ($5 > 0$). Значения функции отрицательны между корнями.
Решением является интервал $-\frac{1}{5} < x < 1$.
Ответ: $(-\frac{1}{5}; 1)$.

г) Решим показательное неравенство $(\frac{1}{2})^{2x^2 + 3x - 6} < 2$.
Приведем обе части к одному основанию. Можно выбрать основание $\frac{1}{2}$. Запишем правую часть: $2 = (\frac{1}{2})^{-1}$.
$(\frac{1}{2})^{2x^2 + 3x - 6} < (\frac{1}{2})^{-1}$.
Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^t$ является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2x^2 + 3x - 6 > -1$
$2x^2 + 3x - 5 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$;
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
График $y = 2x^2 + 3x - 5$ — парабола с ветвями вверх ($2 > 0$). Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.
Решением является объединение интервалов $x < -\frac{5}{2}$ или $x > 1$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{5}{2}) \cup (1; +\infty)$.

6.50 а) $3^{x+4} + 3^{-x-3} > 4;$

В) $8^x + 2^{4-3x} \ge 17;$

Д) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-x-3} \le 4;$

б) $4^{x-1} + 2^{6-2x} < 10;$

Г) $9^{x-1} + 3^{5-2x} \le 28;$

е) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-4} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-x+2} \ge 10.$

а) $3^{x+4} + 3^{-x-3} > 4$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^x \cdot 3^4 + 3^{-x} \cdot 3^{-3} > 4$

$81 \cdot 3^x + \frac{1}{3^x \cdot 3^3} > 4$

$81 \cdot 3^x + \frac{1}{27 \cdot 3^x} > 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$81t + \frac{1}{27t} > 4$

Умножим обе части неравенства на $27t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не изменится.

$81t \cdot 27t + 1 > 4 \cdot 27t$

$2187t^2 + 1 > 108t$

$2187t^2 - 108t + 1 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2187t^2 - 108t + 1 = 0$:

Дискриминант $D = (-108)^2 - 4 \cdot 2187 \cdot 1 = 11664 - 8748 = 2916 = 54^2$.

$t_1 = \frac{108 - 54}{2 \cdot 2187} = \frac{54}{4374} = \frac{1}{81}$

$t_2 = \frac{108 + 54}{2 \cdot 2187} = \frac{162}{4374} = \frac{1}{27}$

Так как ветви параболы $y = 2187t^2 - 108t + 1$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t < \frac{1}{81}$ или $t > \frac{1}{27}$. С учетом условия $t > 0$, получаем:

$0 < t < \frac{1}{81}$ или $t > \frac{1}{27}$.

Вернемся к замене $t = 3^x$:

1) $3^x < \frac{1}{81} \Rightarrow 3^x < 3^{-4} \Rightarrow x < -4$.

2) $3^x > \frac{1}{27} \Rightarrow 3^x > 3^{-3} \Rightarrow x > -3$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty)$.

б) $4^{x-1} + 2^{6-2x} < 10$

Приведем степени к одному основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$(2^2)^{x-1} + 2^{6-2x} < 10$

$2^{2x-2} + 2^{6-2x} < 10$

$2^{2x} \cdot 2^{-2} + 2^6 \cdot 2^{-2x} < 10$

$\frac{1}{4} \cdot 2^{2x} + 64 \cdot \frac{1}{2^{2x}} < 10$

Сделаем замену $t = 2^{2x}$, где $t > 0$.

$\frac{t}{4} + \frac{64}{t} < 10$

Умножим обе части на $4t > 0$:

$t^2 + 256 < 40t$

$t^2 - 40t + 256 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 40t + 256 = 0$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 1600 - 1024 = 576 = 24^2$.

$t_1 = \frac{40 - 24}{2} = 8$

$t_2 = \frac{40 + 24}{2} = 32$

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $8 < t < 32$.

Выполним обратную замену $t = 2^{2x}$:

$8 < 2^{2x} < 32$

$2^3 < 2^{2x} < 2^5$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$3 < 2x < 5$

$\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$

Ответ: $x \in (1.5; 2.5)$.

в) $8^x + 2^{4-3x} \ge 17$

Приведем степени к основанию 2, так как $8=2^3$:

$(2^3)^x + 2^{4-3x} \ge 17$

$2^{3x} + 2^4 \cdot 2^{-3x} \ge 17$

$2^{3x} + \frac{16}{2^{3x}} \ge 17$

Сделаем замену $t = 2^{3x}$, где $t > 0$.

$t + \frac{16}{t} \ge 17$

Умножим на $t > 0$:

$t^2 + 16 \ge 17t$

$t^2 - 17t + 16 \ge 0$

Корни уравнения $t^2 - 17t + 16 = 0$ по теореме Виета равны $t_1=1$ и $t_2=16$.

Неравенство $(t-1)(t-16) \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 16$.

Вернемся к замене $t = 2^{3x}$:

1) $2^{3x} \le 1 \Rightarrow 2^{3x} \le 2^0 \Rightarrow 3x \le 0 \Rightarrow x \le 0$.

2) $2^{3x} \ge 16 \Rightarrow 2^{3x} \ge 2^4 \Rightarrow 3x \ge 4 \Rightarrow x \ge \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

г) $9^{x-1} + 3^{5-2x} \le 28$

Приведем степени к основанию 3, так как $9=3^2$:

$(3^2)^{x-1} + 3^{5-2x} \le 28$

$3^{2x-2} + 3^{5-2x} \le 28$

$\frac{3^{2x}}{3^2} + \frac{3^5}{3^{2x}} \le 28$

$\frac{3^{2x}}{9} + \frac{243}{3^{2x}} \le 28$

Сделаем замену $t = 3^{2x}$, где $t > 0$.

$\frac{t}{9} + \frac{243}{t} \le 28$

Умножим на $9t > 0$:

$t^2 + 2187 \le 252t$

$t^2 - 252t + 2187 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 252t + 2187 = 0$:

$D = (-252)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2187 = 63504 - 8748 = 54756 = 234^2$.

$t_1 = \frac{252 - 234}{2} = 9$

$t_2 = \frac{252 + 234}{2} = 243$

Неравенство выполняется между корнями: $9 \le t \le 243$.

Вернемся к замене $t = 3^{2x}$:

$9 \le 3^{2x} \le 243$

$3^2 \le 3^{2x} \le 3^5$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$2 \le 2x \le 5$

$1 \le x \le \frac{5}{2}$

Ответ: $x \in [1; 2.5]$.

д) $(\frac{1}{3})^{x+2} + (\frac{1}{3})^{-x-3} \le 4$

Используем свойство $(\frac{1}{a})^b = a^{-b}$:

$3^{-(x+2)} + 3^{-(-x-3)} \le 4$

$3^{-x-2} + 3^{x+3} \le 4$

$\frac{3^{-x}}{3^2} + 3^x \cdot 3^3 \le 4$

$\frac{1}{9 \cdot 3^x} + 27 \cdot 3^x \le 4$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$\frac{1}{9t} + 27t \le 4$

Умножим на $9t > 0$:

$1 + 243t^2 \le 36t$

$243t^2 - 36t + 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $243t^2 - 36t + 1 = 0$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 243 \cdot 1 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$.

$t_1 = \frac{36 - 18}{2 \cdot 243} = \frac{18}{486} = \frac{1}{27}$

$t_2 = \frac{36 + 18}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

Неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{27} \le t \le \frac{1}{9}$.

Вернемся к замене $t = 3^x$:

$\frac{1}{27} \le 3^x \le \frac{1}{9}$

$3^{-3} \le 3^x \le 3^{-2}$

Так как основание $3 > 1$, получаем:

$-3 \le x \le -2$

Ответ: $x \in [-3; -2]$.

е) $(\frac{1}{4})^{x-4} + (\frac{1}{4})^{-x+2} \ge 10$

Используем свойство $(\frac{1}{a})^b = a^{-b}$:

$4^{-(x-4)} + 4^{-(-x+2)} \ge 10$

$4^{-x+4} + 4^{x-2} \ge 10$

$\frac{4^4}{4^x} + \frac{4^x}{4^2} \ge 10$

$\frac{256}{4^x} + \frac{4^x}{16} \ge 10$

Сделаем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.

$\frac{256}{t} + \frac{t}{16} \ge 10$

Умножим на $16t > 0$:

$256 \cdot 16 + t^2 \ge 160t$

$4096 + t^2 \ge 160t$

$t^2 - 160t + 4096 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 160t + 4096 = 0$:

$D = (-160)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4096 = 25600 - 16384 = 9216 = 96^2$.

$t_1 = \frac{160 - 96}{2} = 32$

$t_2 = \frac{160 + 96}{2} = 128$

Неравенство выполняется при $t \le 32$ или $t \ge 128$.

Вернемся к замене $t = 4^x = 2^{2x}$:

1) $2^{2x} \le 32 \Rightarrow 2^{2x} \le 2^5 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{2}$.

2) $2^{2x} \ge 128 \Rightarrow 2^{2x} \ge 2^7 \Rightarrow 2x \ge 7 \Rightarrow x \ge \frac{7}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5] \cup [3.5; +\infty)$.