Номер 6.53, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.53, страница 186.

6.53* а) $\log_{\frac{2}{3}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{3}} x \log_{11} x > 0;$

б) $\log_3^2 x - 4 \log_{11} x \log_{12} x > 0;$

в) $\log_2^2 x - 6 \log_5 x \log_9 x > 0;$

г) $\log_3^2 x + 4 \log_4 x \log_5 x + 2 \log_6^2 x > 0.$

а)

Исходное неравенство: $ \log_{\frac{2}{3}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{3}} x \log_{11} x > 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $ x > 0 $.

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию. Удобно использовать натуральный логарифм $ \ln x $. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $ \log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} $.

$ \left(\frac{\ln x}{\ln\frac{2}{3}}\right)^2 + 2 \cdot \frac{\ln x}{\ln\frac{1}{3}} \cdot \frac{\ln x}{\ln 11} > 0 $

Упростим знаменатели: $ \ln\frac{2}{3} = \ln 2 - \ln 3 $ и $ \ln\frac{1}{3} = -\ln 3 $.

$ \frac{\ln^2 x}{(\ln 2 - \ln 3)^2} + \frac{2 \ln^2 x}{(-\ln 3)(\ln 11)} > 0 $

$ \frac{\ln^2 x}{(\ln 3 - \ln 2)^2} - \frac{2 \ln^2 x}{\ln 3 \cdot \ln 11} > 0 $

Вынесем общий множитель $ \ln^2 x $ за скобки:

$ \ln^2 x \left( \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} - \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} \right) > 0 $

Если $ x = 1 $, то $ \ln x = 0 $, и неравенство обращается в неверное равенство $ 0 > 0 $. Значит, $ x \neq 1 $.

Если $ x \neq 1 $, то $ \ln x \neq 0 $, и $ \ln^2 x > 0 $. В этом случае знак всего выражения совпадает со знаком выражения в скобках. Определим знак константы $ C = \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} - \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} $.

Сравним два положительных числа: $ \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} $ и $ \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} $. Это равносильно сравнению $ \ln 3 \cdot \ln 11 $ и $ 2(\ln 3 - \ln 2)^2 $.

Оценим значения: $ \log_3 11 > \log_3 9 = 2 $ и $ \log_3(3/2) = \log_3 3 - \log_3 2 = 1 - \log_3 2 $. Поскольку $ \log_3 2 < 1 $, то $ 1 - \log_3 2 > 0 $. Перейдя к основанию 3, сравним $ \log_3 11 $ и $ 2(1 - \log_3 2)^2 = 2(\log_3(3/2))^2 $.

$ \log_3 11 \approx 2.18 $. $ \log_3 2 \approx 0.63 $. Тогда $ 2(1-0.63)^2 = 2(0.37)^2 = 2 \cdot 0.1369 = 0.2738 $.

Поскольку $ 2.18 > 0.2738 $, то $ \log_3 11 > 2(\log_3(3/2))^2 $. Это означает, что $ \ln 3 \cdot \ln 11 > 2(\ln 3 - \ln 2)^2 $, и $ \frac{1}{(\ln 3 - \ln 2)^2} > \frac{2}{\ln 3 \cdot \ln 11} $. Таким образом, константа $ C $ положительна.

Неравенство $ \ln^2 x \cdot C > 0 $ при $ C > 0 $ выполняется, когда $ \ln^2 x > 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Учитывая ОДЗ $ x>0 $, получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ \log_3^2 x - 4 \log_{11} x \log_{12} x > 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$ \log_3^2 x - 4 \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 11} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 12} > 0 $

$ \log_3^2 x - \frac{4 \log_3^2 x}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} > 0 $

Вынесем $ \log_3^2 x $ за скобки:

$ \log_3^2 x \left( 1 - \frac{4}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} \right) > 0 $

При $ x = 1 $ получаем неверное неравенство $ 0 > 0 $, значит $ x \neq 1 $. При $ x \neq 1 $ имеем $ \log_3^2 x > 0 $. Знак неравенства определяется знаком выражения в скобках.

Оценим знак константы $ C = 1 - \frac{4}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} $. Для этого сравним $ \log_3 11 \cdot \log_3 12 $ и $ 4 $.

Так как $ 11 > 9 $, то $ \log_3 11 > \log_3 9 = 2 $.

Так как $ 12 > 9 $, то $ \log_3 12 > \log_3 9 = 2 $.

Следовательно, произведение $ \log_3 11 \cdot \log_3 12 > 2 \cdot 2 = 4 $.

Поскольку знаменатель $ \log_3 11 \cdot \log_3 12 $ больше 4, то дробь $ \frac{4}{\log_3 11 \cdot \log_3 12} < 1 $. Значит, выражение в скобках $ C = 1 - (\text{число} < 1) $ будет положительным.

Неравенство $ \log_3^2 x \cdot C > 0 $ при $ C > 0 $ выполняется, когда $ \log_3^2 x > 0 $, то есть $ \log_3 x \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

С учетом ОДЗ $ x>0 $, получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

в)

Исходное неравенство: $ \log_2^2 x - 6 \log_5 x \log_9 x > 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Приведем логарифмы к основанию 2:

$ \log_2^2 x - 6 \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 5} \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 9} > 0 $

$ \log_2^2 x \left( 1 - \frac{6}{\log_2 5 \cdot \log_2 9} \right) > 0 $

При $ x = 1 $ неравенство неверно, поэтому $ x \neq 1 $. При $ x \neq 1 $ множитель $ \log_2^2 x > 0 $. Знак определяется выражением в скобках.

Оценим знак константы $ C = 1 - \frac{6}{\log_2 5 \cdot \log_2 9} $. Сравним $ \log_2 5 \cdot \log_2 9 $ с $ 6 $.

Упростим $ \log_2 9 = \log_2(3^2) = 2 \log_2 3 $. Сравнение сводится к $ \log_2 5 \cdot 2 \log_2 3 $ с $ 6 $, то есть $ \log_2 5 \cdot \log_2 3 $ с $ 3 $.

Оценим значения логарифмов: $ \log_2 5 > \log_2 4 = 2 $ и $ \log_2 3 > \log_2 2 = 1 $.

Более точные оценки: $ \log_2 3 \approx 1.585 $ и $ \log_2 5 \approx 2.322 $.

$ \log_2 5 \cdot \log_2 3 \approx 2.322 \cdot 1.585 \approx 3.68 > 3 $.

Следовательно, $ \log_2 5 \cdot \log_2 9 = 2 \cdot (\log_2 5 \cdot \log_2 3) > 2 \cdot 3 = 6 $.

Так как $ \log_2 5 \cdot \log_2 9 > 6 $, то $ \frac{6}{\log_2 5 \cdot \log_2 9} < 1 $, и выражение в скобках $ C $ положительно.

Неравенство $ \log_2^2 x \cdot C > 0 $ при $ C > 0 $ выполняется, когда $ \log_2^2 x > 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Учитывая ОДЗ $ x > 0 $, получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

г)

Исходное неравенство: $ \log_3^2 x + 4 \log_4 x \log_5 x + 2 \log_6^2 x > 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к натуральному $ \ln x $:

$ \left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right)^2 + 4 \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} \cdot \frac{\ln x}{\ln 5} + 2 \left(\frac{\ln x}{\ln 6}\right)^2 > 0 $

$ \frac{\ln^2 x}{(\ln 3)^2} + \frac{4 \ln^2 x}{\ln 4 \cdot \ln 5} + \frac{2 \ln^2 x}{(\ln 6)^2} > 0 $

Вынесем $ \ln^2 x $ за скобки:

$ \ln^2 x \left( \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{4}{\ln 4 \cdot \ln 5} + \frac{2}{(\ln 6)^2} \right) > 0 $

При $ x = 1 $ получаем $ 0 > 0 $, что неверно. Следовательно, $ x \neq 1 $. При $ x \neq 1 $ множитель $ \ln^2 x $ всегда положителен.

Рассмотрим выражение в скобках: $ C = \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{4}{\ln 4 \cdot \ln 5} + \frac{2}{(\ln 6)^2} $.

Так как основания логарифмов $ 3, 4, 5, 6 $ больше 1, их натуральные логарифмы $ \ln 3, \ln 4, \ln 5, \ln 6 $ все положительны.

Каждое из трех слагаемых в скобках является положительным числом. Сумма положительных чисел также положительна, следовательно, $ C > 0 $.

Таким образом, неравенство $ \ln^2 x \cdot C > 0 $ (где $ C > 0 $) равносильно неравенству $ \ln^2 x > 0 $.

Это выполняется, когда $ \ln x \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

С учетом ОДЗ ($ x > 0 $), получаем решение $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $.