Номер 6.51, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.51, страница 186.

6.51 а) $log_2 (3x - 5) > 3;$

б) $log_5 (2x - 1) < -1;$

В) $log_7 (5x - 4) \ge 0;$

Г) $log_{0.2} (3x - 4) > -1;$

Д) $log_{0.5} (x - 4) < 1;$

е) $log_{0.25} (x - 3) \le -1.$

а) $\log_{2}(3x - 5) > 3$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием: аргумент логарифма должен быть положителен. $3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3}$. Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется. $3x - 5 > 2^3$ $3x - 5 > 8$ $3x > 13$ $x > \frac{13}{3}$. Находим пересечение полученного решения с ОДЗ: $x > \frac{5}{3}$ и $x > \frac{13}{3}$. Поскольку $\frac{13}{3} > \frac{5}{3}$, итоговое решение $x > \frac{13}{3}$. Ответ: $(\frac{13}{3}; +\infty)$.

б) $\log_{5}(2x - 1) < -1$. ОДЗ: $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$. Основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. $2x - 1 < 5^{-1}$ $2x - 1 < \frac{1}{5}$ $2x < 1 + \frac{1}{5}$ $2x < \frac{6}{5}$ $x < \frac{3}{5}$. Находим пересечение решений: $x > \frac{1}{2}$ и $x < \frac{3}{5}$. Это дает нам интервал $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{5}$. Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{5})$.

в) $\log_{7}(5x - 4) \ge 0$. ОДЗ: $5x - 4 > 0 \implies 5x > 4 \implies x > \frac{4}{5}$. Основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. $5x - 4 \ge 7^0$ $5x - 4 \ge 1$ $5x \ge 5$ $x \ge 1$. Находим пересечение решений: $x > \frac{4}{5}$ и $x \ge 1$. Общим решением является $x \ge 1$. Ответ: $[1; +\infty)$.

г) $\log_{0,2}(3x - 4) > -1$. ОДЗ: $3x - 4 > 0 \implies 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3}$. Основание логарифма $0,2 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $3x - 4 < (0,2)^{-1}$ $3x - 4 < (\frac{1}{5})^{-1}$ $3x - 4 < 5$ $3x < 9$ $x < 3$. Находим пересечение решений: $x > \frac{4}{3}$ и $x < 3$. Это дает нам интервал $\frac{4}{3} < x < 3$. Ответ: $(\frac{4}{3}; 3)$.

д) $\log_{0,5}(x - 4) < 1$. ОДЗ: $x - 4 > 0 \implies x > 4$. Основание логарифма $0,5 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный. $x - 4 > (0,5)^1$ $x - 4 > 0,5$ $x > 4,5$. Находим пересечение решений: $x > 4$ и $x > 4,5$. Общим решением является $x > 4,5$. Ответ: $(4,5; +\infty)$.

е) $\log_{0,25}(x - 3) \le -1$. ОДЗ: $x - 3 > 0 \implies x > 3$. Основание логарифма $0,25 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный. $x - 3 \ge (0,25)^{-1}$ $x - 3 \ge (\frac{1}{4})^{-1}$ $x - 3 \ge 4$ $x \ge 7$. Находим пересечение решений: $x > 3$ и $x \ge 7$. Общим решением является $x \ge 7$. Ответ: $[7; +\infty)$.