Номер 6.43, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.43, страница 181.

6.43 a) $\log_2 x + 2 \log_4 x + 3 \log_8 x \ge 6;$

б) $\log_3 x + 2 \log_9 x + 3 \log_{27} x \le 3;$

в) $3 \log_{\sqrt{2}} x - 4 \log_2 x + 4 \log_4 x \ge 8;$

г) $5 \log_{\sqrt{3}} x - 4 \log_{\sqrt{3}} x + 4 \log_9 x \le 8.$

а) $\log_2 x + 2 \log_4 x + 3 \log_8 x \ge 6$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к одному основанию, в данном случае к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$
$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$

3. Подставим преобразованные логарифмы в исходное неравенство:
$\log_2 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} \log_2 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} \log_2 x) \ge 6$

4. Упростим выражение:
$\log_2 x + \log_2 x + \log_2 x \ge 6$
$3 \log_2 x \ge 6$
$\log_2 x \ge 2$

5. Решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x \ge 2^2$
$x \ge 4$

6. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение. Решение $x \ge 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

б) $\log_3 x + 2 \log_9 x + 3 \log_{27} x \le 3$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к основанию 3:
$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$
$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$

3. Подставим в неравенство:
$\log_3 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} \log_3 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} \log_3 x) \le 3$

4. Упростим:
$\log_3 x + \log_3 x + \log_3 x \le 3$
$3 \log_3 x \le 3$
$\log_3 x \le 1$

5. Решим неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x \le 3^1$
$x \le 3$

6. Совместим с ОДЗ ($x > 0$). Получаем систему:
$\begin{cases} x \le 3 \\ x > 0 \end{cases}$
Решением является $0 < x \le 3$.

Ответ: $x \in (0; 3]$.

в) $3 \log_{\sqrt{2}} x - 4 \log_2 x + 4 \log_4 x \ge 8$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к основанию 2:
$\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_2 x = 2 \log_2 x$
$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$

3. Подставим в неравенство:
$3 \cdot (2 \log_2 x) - 4 \log_2 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} \log_2 x) \ge 8$

4. Упростим выражение:
$6 \log_2 x - 4 \log_2 x + 2 \log_2 x \ge 8$
$4 \log_2 x \ge 8$
$\log_2 x \ge 2$

5. Решим неравенство. Основание $2 > 1$, знак сохраняется:
$x \ge 2^2$
$x \ge 4$

6. Решение $x \ge 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

г) $5 \log_{\sqrt[3]{3}} x - 4 \log_{\sqrt{3}} x + 4 \log_9 x \le 8$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведём все логарифмы к основанию 3:
$\log_{\sqrt[3]{3}} x = \log_{3^{1/3}} x = \frac{1}{1/3} \log_3 x = 3 \log_3 x$
$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$
$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$

3. Подставим в неравенство:
$5 \cdot (3 \log_3 x) - 4 \cdot (2 \log_3 x) + 4 \cdot (\frac{1}{2} \log_3 x) \le 8$

4. Упростим выражение:
$15 \log_3 x - 8 \log_3 x + 2 \log_3 x \le 8$
$9 \log_3 x \le 8$
$\log_3 x \le \frac{8}{9}$

5. Решим неравенство. Основание $3 > 1$, знак сохраняется:
$x \le 3^{8/9}$

6. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le 3^{8/9}$. Значение $3^{8/9}$ можно также записать как $\sqrt[9]{3^8}$ или $\sqrt[9]{6561}$.

Ответ: $x \in (0; 3^{8/9}]$.