Номер 6.38, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.38, страница 181.

6.38 Какие решения имеет неравенство $\log_a x < \log_a b (b > 0)$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$?

a) a > 1

Дано логарифмическое неравенство $\log_a x < \log_a b$. Первым шагом является определение области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. По условию задачи $b > 0$, что обеспечивает существование логарифма в правой части неравенства.

В данном случае основание логарифма $a > 1$. Логарифмическая функция $y = \log_a t$ с основанием больше единицы является монотонно возрастающей. Это означает, что для аргументов выполняется неравенство с тем же знаком, что и для логарифмов. Следовательно, неравенство $\log_a x < \log_a b$ равносильно неравенству $x < b$.

Чтобы найти окончательное решение, необходимо учесть ОДЗ. Мы получаем систему неравенств: $ \begin{cases} x > 0 \\ x < b \end{cases} $ Решением этой системы является интервал, в котором $x$ одновременно больше нуля и меньше $b$.

Ответ: $0 < x < b$.

б) 0 < a < 1

Рассматривается то же неравенство $\log_a x < \log_a b$ с теми же условиями: $x > 0$ и $b > 0$.

В этом случае основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция $y = \log_a t$ с таким основанием является монотонно убывающей. Это означает, что меньшему значению логарифма соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Неравенство $\log_a x < \log_a b$ равносильно неравенству $x > b$.

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ в систему: $ \begin{cases} x > 0 \\ x > b \end{cases} $ Так как по условию $b$ является положительным числом ($b > 0$), то неравенство $x > b$ является более сильным, чем $x > 0$. Любое число, которое больше положительного $b$, автоматически будет больше нуля. Следовательно, решение системы — это $x > b$.

Ответ: $x > b$.