Номер 6.32, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Простейшие показательные неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.32, страница 177.

6.32 a) $4^x \ge 2;$

б) $9^x \le \frac{1}{3};$

в) $16^x \ge \frac{1}{2};$

г) $25^x \le 5;$

д) $4^x \le \frac{1}{2};$

е) $8^x \ge 4.$

а)

Решим неравенство $4^x \ge 2$.

Для решения показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 2.

Представим $4$ как степень двойки: $4 = 2^2$. Число 2 можно представить как $2^1$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(2^2)^x \ge 2^1$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^{2x} \ge 2^1$

Так как основание степени $2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что если значение функции в одной точке не меньше, чем в другой, то и ее аргумент в первой точке не меньше, чем во второй. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$2x \ge 1$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $9^x \le \frac{1}{3}$.

Приведем обе части к основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим в неравенство:

$(3^2)^x \le 3^{-1}$

$3^{2x} \le 3^{-1}$

Основание степени $3 > 1$, поэтому функция $y=3^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x \le -1$

$x \le -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]$.

в)

Решим неравенство $16^x \ge \frac{1}{2}$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим в неравенство:

$(2^4)^x \ge 2^{-1}$

$2^{4x} \ge 2^{-1}$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $25^x \le 5$.

Приведем обе части к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $5 = 5^1$.

Подставим в неравенство:

$(5^2)^x \le 5^1$

$5^{2x} \le 5^1$

Основание степени $5 > 1$, поэтому функция $y=5^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x \le 1$

$x \le \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}]$.

д)

Решим неравенство $4^x \le \frac{1}{2}$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим в неравенство:

$(2^2)^x \le 2^{-1}$

$2^{2x} \le 2^{-1}$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x \le -1$

$x \le -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]$.

е)

Решим неравенство $8^x \ge 4$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Подставим в неравенство:

$(2^3)^x \ge 2^2$

$2^{3x} \ge 2^2$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}, +\infty)$.