Номер 6.35, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Простейшие показательные неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.35, страница 178.

6.35 a) $9 \cdot 7^x - 49 \cdot 3^x > 0;$

б) $8 \cdot 5^x - 125 \cdot 3^x < 0;$

в) $64 \cdot 5^x - 125 \cdot 4^x > 0;$

г) $81 \cdot 2^x - 16 \cdot 3^x < 0;$

д) $49 \cdot 4^x - 16 \cdot 7^x > 0;$

е) $625 \cdot 3^x - 81 \cdot 5^x < 0.$

а) Исходное неравенство: $9 \cdot 7^x - 49 \cdot 3^x > 0$.
Перенесем второе слагаемое в правую часть: $9 \cdot 7^x > 49 \cdot 3^x$.
Разделим обе части на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.
$9 \cdot \frac{7^x}{3^x} > 49$
$9 \cdot (\frac{7}{3})^x > 49$
Разделим обе части на 9:
$(\frac{7}{3})^x > \frac{49}{9}$
Представим правую часть в виде степени с тем же основанием, что и в левой части:
$(\frac{7}{3})^x > (\frac{7}{3})^2$
Так как основание степени $\frac{7}{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:
$x > 2$
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $8 \cdot 5^x - 125 \cdot 3^x < 0$.
$8 \cdot 5^x < 125 \cdot 3^x$
Разделим обе части на $3^x$ (т.к. $3^x > 0$):
$8 \cdot (\frac{5}{3})^x < 125$
Разделим обе части на 8:
$(\frac{5}{3})^x < \frac{125}{8}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:
$(\frac{5}{3})^x < (\frac{5}{3})^3$
Так как основание $\frac{5}{3} > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x < 3$
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) Исходное неравенство: $64 \cdot 5^x - 125 \cdot 4^x > 0$.
$64 \cdot 5^x > 125 \cdot 4^x$
Разделим обе части на $4^x$ (т.к. $4^x > 0$):
$64 \cdot (\frac{5}{4})^x > 125$
Разделим обе части на 64:
$(\frac{5}{4})^x > \frac{125}{64}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{4}$:
$(\frac{5}{4})^x > (\frac{5}{4})^3$
Так как основание $\frac{5}{4} > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $81 \cdot 2^x - 16 \cdot 3^x < 0$.
$81 \cdot 2^x < 16 \cdot 3^x$
Разделим обе части на $3^x$ (т.к. $3^x > 0$):
$81 \cdot (\frac{2}{3})^x < 16$
Разделим обе части на 81:
$(\frac{2}{3})^x < \frac{16}{81}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^4$
Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:
$x > 4$
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

д) Исходное неравенство: $49 \cdot 4^x - 16 \cdot 7^x > 0$.
$49 \cdot 4^x > 16 \cdot 7^x$
Разделим обе части на $7^x$ (т.к. $7^x > 0$):
$49 \cdot (\frac{4}{7})^x > 16$
Разделим обе части на 49:
$(\frac{4}{7})^x > \frac{16}{49}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$:
$(\frac{4}{7})^x > (\frac{4}{7})^2$
Так как основание $0 < \frac{4}{7} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

е) Исходное неравенство: $625 \cdot 3^x - 81 \cdot 5^x < 0$.
$625 \cdot 3^x < 81 \cdot 5^x$
Разделим обе части на $5^x$ (т.к. $5^x > 0$):
$625 \cdot (\frac{3}{5})^x < 81$
Разделим обе части на 625:
$(\frac{3}{5})^x < \frac{81}{625}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$:
$(\frac{3}{5})^x < (\frac{3}{5})^4$
Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 4$
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.