Номер 6.39, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.39, страница 181.

Решите неравенство (6.39—6.44):

6.39 a) $ \log_2 x > 1 $;

б) $ \log_3 x > -1 $;

в) $ \lg x < 2 $;

г) $ \log_9 x < 0 $;

д) $ \log_2 x > 0 $;

е) $ \lg x < -2 $.

а) Дано неравенство $\log_2 x > 1$.
1. Находим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Представляем правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $1 = \log_2 2^1 = \log_2 2$.
3. Переписываем неравенство: $\log_2 x > \log_2 2$.
4. Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 2$.
5. Совмещаем полученное решение с ОДЗ. Нужно, чтобы выполнялись оба условия: $x > 2$ и $x > 0$. Пересечением этих условий является $x > 2$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

б) Дано неравенство $\log_3 x > -1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем -1 в виде логарифма с основанием 3: $-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3 \frac{1}{3}$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_3 x > \log_3 \frac{1}{3}$.
4. Основание логарифма $a = 3 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > \frac{1}{3}$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

в) Дано неравенство $\lg x < 2$.
1. Обозначение $\lg x$ соответствует логарифму по основанию 10: $\log_{10} x$. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем 2 в виде десятичного логарифма: $2 = \lg 10^2 = \lg 100$.
3. Неравенство принимает вид: $\lg x < \lg 100$.
4. Основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 100$.
5. Совмещаем с ОДЗ ($x > 0$) и получаем итоговое решение: $0 < x < 100$.
Ответ: $x \in (0, 100)$.

г) Дано неравенство $\log_9 x < 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем 0 в виде логарифма с основанием 9: $0 = \log_9 9^0 = \log_9 1$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_9 x < \log_9 1$.
4. Основание логарифма $a = 9 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 1$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.

д) Дано неравенство $\log_2 x > 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем 0 в виде логарифма с основанием 2: $0 = \log_2 2^0 = \log_2 1$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2 1$.
4. Основание логарифма $a = 2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 1$.
5. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

е) Дано неравенство $\lg x < -2$.
1. Неравенство можно записать как $\log_{10} x < -2$. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представляем -2 в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg 10^{-2} = \lg 0.01$.
3. Неравенство принимает вид: $\lg x < \lg 0.01$.
4. Основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 0.01$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 0.01$.
Ответ: $x \in (0, 0.01)$.