Номер 6.37, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.37, страница 181.

6.37 Какие решения имеет неравенство $\log_a x > \log_a b$ $(b > 0)$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$?

Для решения логарифмического неравенства $ \log_a x > \log_a b $ необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения основания $ a $, а также учесть область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ для логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положительным. Таким образом, для $ \log_a x $ должно выполняться условие $ x > 0 $. По условию задачи нам также дано, что $ b > 0 $.

а) Рассмотрим случай, когда $ a > 1 $.

Если основание логарифма больше единицы ($ a > 1 $), то логарифмическая функция $ y = \log_a x $ является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при решении неравенства знак для аргументов сохраняется:

$ \log_a x > \log_a b \implies x > b $

Теперь необходимо совместить полученное решение с ОДЗ ($ x > 0 $). Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > b \\ x > 0 \end{cases} $

Поскольку по условию $ b > 0 $, то неравенство $ x > b $ является более строгим. Любое значение $ x $, удовлетворяющее условию $ x > b $, автоматически будет больше нуля. Следовательно, решением системы является $ x > b $.

Ответ: $ x > b $, или в виде интервала $ x \in (b; +\infty) $.

б) Рассмотрим случай, когда $ 0 < a < 1 $.

Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1 ($ 0 < a < 1 $), то логарифмическая функция $ y = \log_a x $ является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак необходимо изменить на противоположный:

$ \log_a x > \log_a b \implies x < b $

Снова учтем ОДЗ ($ x > 0 $). Получим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < b \\ x > 0 \end{cases} $

Решением этой системы является двойное неравенство $ 0 < x < b $.

Ответ: $ 0 < x < b $, или в виде интервала $ x \in (0; b) $.