Номер 6.26, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.26, страница 173.

6.26 a) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} + \frac{1}{\lg x} = \frac{3}{2};$

б) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x - \lg 0,1} = \frac{2}{3}.$

a) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} + \frac{1}{\lg x} = \frac{3}{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.
$x > 0$
$\lg x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$\lg x + \lg 0,1 \neq 0$. Так как $\lg 0,1 = \lg(10^{-1}) = -1$, то $\lg x - 1 \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 1 \Rightarrow x \neq 10$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 10) \cup (10; +\infty)$.

2. Упростим уравнение, используя свойство логарифма $\lg 0,1 = -1$:
$\frac{1}{\lg x - 1} + \frac{1}{\lg x} = \frac{3}{2}$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
При этом, согласно ОДЗ, $t \neq 0$ и $t \neq 1$.

4. Решим полученное рациональное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t(t-1)$:
$\frac{t + (t-1)}{t(t-1)} = \frac{3}{2}$
$\frac{2t - 1}{t^2 - t} = \frac{3}{2}$

5. Используем свойство пропорции:
$2(2t - 1) = 3(t^2 - t)$
$4t - 2 = 3t^2 - 3t$
$3t^2 - 7t + 2 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня удовлетворяют условиям $t \neq 0$ и $t \neq 1$.

7. Вернемся к исходной переменной:
Если $t = 2$, то $\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$.
Если $t = \frac{1}{3}$, то $\lg x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 10^{1/3} = \sqrt[3]{10}$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $100; \sqrt[3]{10}$.

б) $\frac{1}{\lg x + \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x - \lg 0,1} = \frac{2}{3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$x > 0$
$\lg x + \lg 0,1 \neq 0 \Rightarrow \lg x - 1 \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 1 \Rightarrow x \neq 10$.
$\lg x - \lg 0,1 \neq 0 \Rightarrow \lg x - (-1) \neq 0 \Rightarrow \lg x + 1 \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq -1 \Rightarrow x \neq 0,1$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0; 0,1) \cup (0,1; 10) \cup (10; +\infty)$.

2. Упростим уравнение, используя $\lg 0,1 = -1$:
$\frac{1}{\lg x - 1} - \frac{1}{\lg x + 1} = \frac{2}{3}$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} = \frac{2}{3}$
Согласно ОДЗ, $t \neq 1$ и $t \neq -1$.

4. Решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(t-1)(t+1) = t^2 - 1$:
$\frac{(t+1) - (t-1)}{(t-1)(t+1)} = \frac{2}{3}$
$\frac{t+1-t+1}{t^2 - 1} = \frac{2}{3}$
$\frac{2}{t^2 - 1} = \frac{2}{3}$

5. Так как числители равны и не равны нулю, мы можем приравнять знаменатели:
$t^2 - 1 = 3$
$t^2 = 4$
$t_1 = 2$, $t_2 = -2$.
Оба значения удовлетворяют условиям $t \neq 1$ и $t \neq -1$.

6. Вернемся к исходной переменной:
Если $t = 2$, то $\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$.
Если $t = -2$, то $\lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = 0,01$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $100; 0,01$.