Номер 6.21, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.21, страница 172.

6.21 а) $9^x - 5 \cdot 3^x + 6 = 0;$

В) $9^{2x} - 2 \cdot 9^x - 3 = 0;$

Д) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0;$

б) $4^x - 3 \cdot 2^x + 3 = 0;$

Г) $3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0;$

е) $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0.$

а) $9^x - 5 \cdot 3^x + 6 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Представим уравнение в виде:

$(3^x)^2 - 5 \cdot 3^x + 6 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^x$. Поскольку основание степени $3 > 0$, то $t > 0$ для любого действительного $x$.

С новой переменной уравнение становится квадратным: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t_1 = 2$, то $3^x = 2$. По определению логарифма, $x = \log_3 2$.

2. Если $t_2 = 3$, то $3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_3 2$.

б) $4^x - 3 \cdot 2^x + 3 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $t$.

Следовательно, исходное показательное уравнение также не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) $9^{2x} - 2 \cdot 9^x - 3 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $9^{2x} = (9^x)^2$.

Введем замену. Пусть $t = 9^x$. Так как $9^x > 0$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид: $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Подбором находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_1 = 3$ подходит.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$: $9^x = 3$.

Представим 9 как степень 3: $(3^2)^x = 3^1$, то есть $3^{2x} = 3^1$.

Приравниваем показатели степеней: $2x = 1$.

Отсюда находим $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) $3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 8$ и $t_1 \cdot t_2 = -9$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается один корень $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену: $3^x = 9$.

Так как $9 = 3^2$, имеем $3^x = 3^2$.

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

д) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Представим $16^x$ как $(4^2)^x = (4^x)^2$.

$(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 4^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 17t + 16 = 0$.

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 17$ и $t_1 \cdot t_2 = 16$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t_1 = 1$, то $4^x = 1$. Так как $1 = 4^0$, получаем $x = 0$.

2. Если $t_2 = 16$, то $4^x = 16$. Так как $16 = 4^2$, получаем $x = 2$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

е) $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 1$, то $2^x = 1$. Так как $1 = 2^0$, получаем $x = 0$.

2. Если $t_2 = 2$, то $2^x = 2$. Так как $2 = 2^1$, получаем $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.