Страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнения (6.16—6.28):

6.16

а) $7^{3x-1} = 49;$

б) $5^{-x+2} = 0,2;$

в) $2^{-3x+1} = 16;$

г) $(0,5)^{x-6} = 4.$

а) $7^{3x-1} = 49$

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. В данном случае это основание 7.

Правая часть уравнения, число 49, может быть представлена как степень числа 7: $49 = 7^2$.

Теперь уравнение можно переписать в следующем виде:

$7^{3x-1} = 7^2$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x - 1 = 2$

Далее решаем полученное линейное уравнение относительно переменной x. Перенесем -1 в правую часть:

$3x = 2 + 1$

$3x = 3$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Ответ: $x=1$

б) $5^{-x+2} = 0,2$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, представим дробь $\frac{1}{5}$ как степень с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$5^{-x+2} = 5^{-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-x + 2 = -1$

Решаем полученное линейное уравнение. Перенесем 2 в правую часть:

$-x = -1 - 2$

$-x = -3$

Умножим обе части на -1, чтобы найти x:

$x = 3$

Ответ: $x=3$

в) $2^{-3x+1} = 16$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

Число 16 в правой части можно представить как степень числа 2. Зная, что $2^4 = 16$, получаем:

$2^{-3x+1} = 2^4$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-3x + 1 = 4$

Решаем это линейное уравнение. Перенесем 1 в правую часть:

$-3x = 4 - 1$

$-3x = 3$

Разделим обе части на -3:

$x = \frac{3}{-3}$

$x = -1$

Ответ: $x=-1$

г) $(0,5)^{x-6} = 4$

Для решения этого уравнения приведем обе части к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2.

Преобразуем основание в левой части уравнения: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Тогда левая часть примет вид: $(0,5)^{x-6} = (2^{-1})^{x-6}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{-1 \cdot (x-6)} = 2^{-x+6}$.

Преобразуем правую часть уравнения: $4 = 2^2$.

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{-x+6} = 2^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x + 6 = 2$

Решаем линейное уравнение. Перенесем 6 в правую часть:

$-x = 2 - 6$

$-x = -4$

Умножим обе части на -1:

$x = 4$

Ответ: $x=4$

6.17 a) $5^{2x - 5} = 125;$

б) $3^{5x - 2} = 27;$

В) $7^{8x - 2} = 49;$

Г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} = 4;$

Д) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 + x} = \frac{1}{9};$

е) $5^{x^2 - 2x} = 0,2.$

а)
Дано показательное уравнение $5^{2x-5} = 125$.
Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 5.
Число 125 можно представить как степень числа 5: $125 = 5^3$.
Подставим это в исходное уравнение: $5^{2x-5} = 5^3$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x - 5 = 3$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$2x = 3 + 5$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
Ответ: 4

б)
Дано уравнение $3^{5x-2} = 27$.
Приведем обе части к основанию 3. Число 27 это $3^3$.
Получаем уравнение: $3^{5x-2} = 3^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$5x - 2 = 3$
Решаем линейное уравнение:
$5x = 3 + 2$
$5x = 5$
$x = \frac{5}{5}$
$x = 1$
Ответ: 1

в)
Дано уравнение $7^{8x-2} = 49$.
Приведем обе части к основанию 7. Число 49 это $7^2$.
Получаем уравнение: $7^{8x-2} = 7^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$8x - 2 = 2$
Решаем линейное уравнение:
$8x = 2 + 2$
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$x = 0,5$
Ответ: 0,5

г)
Дано уравнение $(\frac{1}{2})^{x^2-3x} = 4$.
Приведем обе части к одному основанию, например, к основанию 2.
Левую часть можно записать так: $(\frac{1}{2})^{x^2-3x} = (2^{-1})^{x^2-3x} = 2^{-(x^2-3x)} = 2^{-x^2+3x}$.
Правую часть можно записать так: $4 = 2^2$.
Теперь уравнение выглядит так: $2^{-x^2+3x} = 2^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$-x^2 + 3x = 2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$.
$x_1 = \frac{3+1}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{3-1}{2} = 1$.
Ответ: 1; 2

д)
Дано уравнение $(\frac{1}{3})^{x^2+x} = \frac{1}{9}$.
Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$.
Правую часть можно записать так: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x^2+x} = (\frac{1}{3})^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 + x = 2$
Переносим все в левую часть:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение равно -2. Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$.
Ответ: -2; 1

е)
Дано уравнение $5^{x^2-2x} = 0,2$.
Приведем обе части к основанию 5.
Десятичную дробь 0,2 представим в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Уравнение принимает вид: $5^{x^2-2x} = 5^{-1}$.
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 - 2x = -1$
Переносим все в левую часть:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Ответ: 1

6.18 а) $\log_2 (3x - 7) = 1;$

б) $\log_3 (2x - 11) = 2;$

в) $\log_{\frac{1}{4}} (3x - 2) = 0;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} (5x - 2) = -3;$

д) $\log_{\frac{1}{3}} (x + 12) = -2;$

е) $\log_2 (7x - 5) = -2.$

а) Решим логарифмическое уравнение $ \log_2(3x - 7) = 1 $.
Для решения воспользуемся определением логарифма: $ \log_b a = c $ равносильно $ a = b^c $. Также необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), где аргумент логарифма должен быть строго положительным.
ОДЗ: $ 3x - 7 > 0 \implies 3x > 7 \implies x > \frac{7}{3} $.
Теперь решаем уравнение:
$ 3x - 7 = 2^1 $
$ 3x - 7 = 2 $
$ 3x = 9 $
$ x = 3 $
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $ 3 > \frac{7}{3} $ (так как $ \frac{9}{3} > \frac{7}{3} $). Условие выполняется, следовательно, корень подходит.
Ответ: $3$.

б) Решим уравнение $ \log_3(2x - 11) = 2 $.
ОДЗ: $ 2x - 11 > 0 \implies 2x > 11 \implies x > \frac{11}{2} $ или $ x > 5.5 $.
По определению логарифма:
$ 2x - 11 = 3^2 $
$ 2x - 11 = 9 $
$ 2x = 20 $
$ x = 10 $
Проверяем корень: $ 10 > 5.5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $10$.

в) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{4}}(3x - 2) = 0 $.
ОДЗ: $ 3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3} $.
По определению логарифма:
$ 3x - 2 = \left(\frac{1}{4}\right)^0 $
$ 3x - 2 = 1 $
$ 3x = 3 $
$ x = 1 $
Проверяем корень: $ 1 > \frac{2}{3} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

г) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(5x - 2) = -3 $.
ОДЗ: $ 5x - 2 > 0 \implies 5x > 2 \implies x > \frac{2}{5} $ или $ x > 0.4 $.
По определению логарифма:
$ 5x - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} $
$ 5x - 2 = (2^{-1})^{-3} = 2^3 $
$ 5x - 2 = 8 $
$ 5x = 10 $
$ x = 2 $
Проверяем корень: $ 2 > 0.4 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

д) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(x + 12) = -2 $.
ОДЗ: $ x + 12 > 0 \implies x > -12 $.
По определению логарифма:
$ x + 12 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $
$ x + 12 = (3^{-1})^{-2} = 3^2 $
$ x + 12 = 9 $
$ x = 9 - 12 $
$ x = -3 $
Проверяем корень: $ -3 > -12 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

е) Решим уравнение $ \log_2(7x - 5) = -2 $.
ОДЗ: $ 7x - 5 > 0 \implies 7x > 5 \implies x > \frac{5}{7} $.
По определению логарифма:
$ 7x - 5 = 2^{-2} $
$ 7x - 5 = \frac{1}{4} $
$ 7x = 5 + \frac{1}{4} $
$ 7x = \frac{20}{4} + \frac{1}{4} = \frac{21}{4} $
$ x = \frac{21}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4} $
Проверяем корень: нужно сравнить $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{7} $. Приведем дроби к общему знаменателю 28: $ \frac{3}{4} = \frac{21}{28} $ и $ \frac{5}{7} = \frac{20}{28} $. Так как $ \frac{21}{28} > \frac{20}{28} $, то $ x = \frac{3}{4} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

6.19 a) $3^{4x^2 - 6x + 3} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0;$

б) $2^{6x^2 - 8x + 3} - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0;$

в) $2^{10x^2 - 8x - 23} + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0;$

г) $3^{8x^2 - 6x - 13} - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0.$

а) $3^{4x^2 - 6x + 3} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $4x^2 - 6x + 3 = 2(2x^2 - 3x + 1) + 1$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$3^{2(2x^2 - 3x + 1) + 1} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

$3^1 \cdot 3^{2(2x^2 - 3x + 1)} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

$3 \cdot (3^{2x^2 - 3x + 1})^2 - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{2x^2 - 3x + 1}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $3t^2 - 10t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3}$.

$t_1 = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к исходной переменной.

1) $3^{2x^2 - 3x + 1} = 3$.

$2x^2 - 3x + 1 = 1$

$2x^2 - 3x = 0$

$x(2x - 3) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = \frac{3}{2}$.

2) $3^{2x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{3}$.

$3^{2x^2 - 3x + 1} = 3^{-1}$

$2x^2 - 3x + 1 = -1$

$2x^2 - 3x + 2 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = 0$; $x = \frac{3}{2}$.

б) $2^{6x^2 - 8x + 3} - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $6x^2 - 8x + 3 = 2(3x^2 - 4x + 1) + 1$.

Уравнение примет вид:

$2^{2(3x^2 - 4x + 1) + 1} - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0$

$2 \cdot (2^{3x^2 - 4x + 1})^2 - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0$

Сделаем замену: $t = 2^{3x^2 - 4x + 1}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2 \cdot 2}$.

$t_1 = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня подходят. Выполняем обратную замену.

1) $2^{3x^2 - 4x + 1} = 2$.

$3x^2 - 4x + 1 = 1$

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = \frac{4}{3}$.

2) $2^{3x^2 - 4x + 1} = \frac{1}{2}$.

$2^{3x^2 - 4x + 1} = 2^{-1}$

$3x^2 - 4x + 1 = -1$

$3x^2 - 4x + 2 = 0$

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$. Корней нет.

Ответ: $x = 0$; $x = \frac{4}{3}$.

в) $2^{10x^2 - 8x - 23} + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $10x^2 - 8x - 23 = 2(5x^2 - 4x - 12) + 24 - 23 = 2(5x^2 - 4x - 12) + 1$.

Уравнение примет вид:

$2^{2(5x^2 - 4x - 12) + 1} + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0$

$2 \cdot (2^{5x^2 - 4x - 12})^2 + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0$

Сделаем замену: $t = 2^{5x^2 - 4x - 12}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 3 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 2}$.

$t_1 = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Так как $t>0$, корень $t_2 = -3/2$ является посторонним.

Возвращаемся к замене с $t_1=1$: $2^{5x^2 - 4x - 12} = 1$.

$2^{5x^2 - 4x - 12} = 2^0$

$5x^2 - 4x - 12 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: $D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 16}{2 \cdot 5}$.

$x_1 = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5}$.

Ответ: $x = 2$; $x = -\frac{6}{5}$.

г) $3^{8x^2 - 6x - 13} - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $8x^2 - 6x - 13 = 2(4x^2 - 3x - 7) + 14 - 13 = 2(4x^2 - 3x - 7) + 1$.

Уравнение примет вид:

$3^{2(4x^2 - 3x - 7)+1} - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0$

$3 \cdot (3^{4x^2 - 3x - 7})^2 - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0$

Сделаем замену: $t = 3^{4x^2 - 3x - 7}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - t - 2 = 0$

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2 \cdot 3}$.

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $t_2 = -2/3$ не подходит, так как $t>0$.

Выполняем обратную замену с $t_1=1$: $3^{4x^2 - 3x - 7} = 1$.

$3^{4x^2 - 3x - 7} = 3^0$

$4x^2 - 3x - 7 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2 \cdot 4}$.

$x_1 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

$x_2 = \frac{-8}{8} = -1$.

Ответ: $x = \frac{7}{4}$; $x = -1$.

6.20 a) $\log_5 (2x^2 - 3x + 1,2) = -1;$

Б) $\log_3 (3x^2 - 5x + 1) = 1;$

В) $\log_{\frac{1}{4}} (2x^2 - 7x - 6) = -2;$

Г) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 17x + 9) = -3.$

а) Исходное уравнение: $\log_5(2x^2 - 3x + 1,2) = -1$.
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применим это свойство к нашему уравнению. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля, т.е. $2x^2 - 3x + 1,2 > 0$.
$2x^2 - 3x + 1,2 = 5^{-1}$
$2x^2 - 3x + 1,2 = \frac{1}{5}$
$2x^2 - 3x + 1,2 = 0,2$
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 3x + 1,2 - 0,2 = 0$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.
Поскольку мы решали уравнение, где выражение под логарифмом равно $5^{-1} = 0,2$, что больше нуля, оба корня удовлетворяют области допустимых значений.
Ответ: $1; 0,5$.

б) Исходное уравнение: $\log_3(3x^2 - 5x + 1) = 1$.
По определению логарифма:
$3x^2 - 5x + 1 = 3^1$
$3x^2 - 5x + 1 = 3$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 - 5x + 1 - 3 = 0$
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
Находим дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Проверка ОДЗ: $3x^2 - 5x + 1 = 3^1 = 3 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $2; -\frac{1}{3}$.

в) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 7x - 6) = -2$.
По определению логарифма:
$2x^2 - 7x - 6 = (\frac{1}{4})^{-2}$
$2x^2 - 7x - 6 = (4^{-1})^{-2} = 4^2 = 16$.
$2x^2 - 7x - 6 = 16$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$2x^2 - 7x - 6 - 16 = 0$
$2x^2 - 7x - 22 = 0$
Находим дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 15}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 15}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
Проверка ОДЗ: $2x^2 - 7x - 6 = 16 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $5,5; -2$.

г) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 17x + 9) = -3$.
По определению логарифма:
$x^2 - 17x + 9 = (\frac{1}{3})^{-3}$
$x^2 - 17x + 9 = (3^{-1})^{-3} = 3^3 = 27$.
$x^2 - 17x + 9 = 27$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - 17x + 9 - 27 = 0$
$x^2 - 17x - 18 = 0$
Находим дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 289 + 72 = 361$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверка ОДЗ: $x^2 - 17x + 9 = 27 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $18; -1$.

6.21 а) $9^x - 5 \cdot 3^x + 6 = 0;$

В) $9^{2x} - 2 \cdot 9^x - 3 = 0;$

Д) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0;$

б) $4^x - 3 \cdot 2^x + 3 = 0;$

Г) $3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0;$

е) $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0.$

а) $9^x - 5 \cdot 3^x + 6 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Представим уравнение в виде:

$(3^x)^2 - 5 \cdot 3^x + 6 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^x$. Поскольку основание степени $3 > 0$, то $t > 0$ для любого действительного $x$.

С новой переменной уравнение становится квадратным: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t_1 = 2$, то $3^x = 2$. По определению логарифма, $x = \log_3 2$.

2. Если $t_2 = 3$, то $3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_3 2$.

б) $4^x - 3 \cdot 2^x + 3 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $t$.

Следовательно, исходное показательное уравнение также не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) $9^{2x} - 2 \cdot 9^x - 3 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $9^{2x} = (9^x)^2$.

Введем замену. Пусть $t = 9^x$. Так как $9^x > 0$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид: $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Подбором находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_1 = 3$ подходит.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$: $9^x = 3$.

Представим 9 как степень 3: $(3^2)^x = 3^1$, то есть $3^{2x} = 3^1$.

Приравниваем показатели степеней: $2x = 1$.

Отсюда находим $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) $3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 8$ и $t_1 \cdot t_2 = -9$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается один корень $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену: $3^x = 9$.

Так как $9 = 3^2$, имеем $3^x = 3^2$.

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

д) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Представим $16^x$ как $(4^2)^x = (4^x)^2$.

$(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 4^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 17t + 16 = 0$.

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 17$ и $t_1 \cdot t_2 = 16$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t_1 = 1$, то $4^x = 1$. Так как $1 = 4^0$, получаем $x = 0$.

2. Если $t_2 = 16$, то $4^x = 16$. Так как $16 = 4^2$, получаем $x = 2$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

е) $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 1$, то $2^x = 1$. Так как $1 = 2^0$, получаем $x = 0$.

2. Если $t_2 = 2$, то $2^x = 2$. Так как $2 = 2^1$, получаем $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

6.22 a) $\lg^2 x - 3 \lg x + 2 = 0;$

б) $2 \lg^2 x - 5 \lg x - 7 = 0;$

в) $3 \lg^2 x - 5 \lg x + 2 = 0;$

г) $5 \lg^2 x + 4 \lg x - 1 = 0.$

а) $ \lg^2 x - 3 \lg x + 2 = 0 $

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно $ \lg x $. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ x > 0 $.

Для решения введем замену переменной. Пусть $ t = \lg x $. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:

$ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $ x $:

1. При $ t_1 = 1 $, получаем $ \lg x = 1 $, откуда $ x_1 = 10^1 = 10 $.

2. При $ t_2 = 2 $, получаем $ \lg x = 2 $, откуда $ x_2 = 10^2 = 100 $.

Оба найденных значения $ x $ положительны, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 10; 100 $.

б) $ 2 \lg^2 x - 5 \lg x - 7 = 0 $

Это уравнение также является квадратным относительно $ \lg x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену $ t = \lg x $. Уравнение примет вид:

$ 2t^2 - 5t - 7 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 $

Корни уравнения для $ t $:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4} $

$ t_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $

$ t_2 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Произведем обратную замену:

1. Если $ \lg x = \frac{7}{2} $, то $ x_1 = 10^{7/2} = 10^{3.5} = 1000\sqrt{10} $.

2. Если $ \lg x = -1 $, то $ x_2 = 10^{-1} = 0.1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 0.1; 1000\sqrt{10} $.

в) $ 3 \lg^2 x - 5 \lg x + 2 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \lg x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Пусть $ t = \lg x $. Тогда получаем уравнение:

$ 3t^2 - 5t + 2 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $

Найдем корни для $ t $:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6} $

$ t_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ t_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену:

1. Если $ \lg x = 1 $, то $ x_1 = 10^1 = 10 $.

2. Если $ \lg x = \frac{2}{3} $, то $ x_2 = 10^{2/3} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100} $.

Оба корня являются положительными числами.

Ответ: $ 10; \sqrt[3]{100} $.

г) $ 5 \lg^2 x + 4 \lg x - 1 = 0 $

Данное уравнение является квадратным относительно $ \lg x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Введем замену $ t = \lg x $:

$ 5t^2 + 4t - 1 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 $

Найдем корни для $ t $:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 6}{10} $

$ t_1 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

$ t_2 = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1 $

Сделаем обратную замену:

1. Если $ \lg x = \frac{1}{5} $, то $ x_1 = 10^{1/5} = \sqrt[5]{10} $.

2. Если $ \lg x = -1 $, то $ x_2 = 10^{-1} = 0.1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 0.1; \sqrt[5]{10} $.

6.23 a) $5^x + 2 \cdot 5^{-x} - 3 = 0;$

б) $7^x + 2 \cdot 7^{1-x} - 9 = 0;$

в) $2^x + 2^{-x} - 2 = 0;$

г) $2^x - 2^{-x} - 3 \frac{3}{4} = 0.$

а) $5^x + 2 \cdot 5^{-x} - 3 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^x + 2 \cdot \frac{1}{5^x} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем уравнение с новой переменной:

$t + \frac{2}{t} - 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$t^2 + 2 - 3t = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = 2$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену:

1) $5^x = t_1 = 1$

$5^x = 5^0$

$x = 0$

2) $5^x = t_2 = 2$

По определению логарифма, $x = \log_5 2$.

Ответ: $0; \log_5 2$.

б) $7^x + 2 \cdot 7^{1-x} - 9 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$7^x + 2 \cdot \frac{7^1}{7^x} - 9 = 0$

$7^x + \frac{14}{7^x} - 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

$t + \frac{14}{t} - 9 = 0$

Умножим обе части на $t$:

$t^2 + 14 - 9t = 0$

$t^2 - 9t + 14 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 9$

$t_1 \cdot t_2 = 14$

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 = 2 \implies x = \log_7 2$

2) $7^x = t_2 = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$

Ответ: $\log_7 2; 1$.

в) $2^x + 2^{-x} - 2 = 0$

Преобразуем уравнение:

$2^x + \frac{1}{2^x} - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t + \frac{1}{t} - 2 = 0$

Умножим на $t$:

$t^2 + 1 - 2t = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это формула квадрата разности:

$(t-1)^2 = 0$

$t - 1 = 0$

$t = 1$

Корень $t=1$ удовлетворяет условию $t > 0$. Выполним обратную замену:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

г) $2^x - 2^{-x} - 3\frac{3}{4} = 0$

Переведем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Преобразуем уравнение:

$2^x - \frac{1}{2^x} - \frac{15}{4} = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t - \frac{1}{t} - \frac{15}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на $4t$, чтобы избавиться от знаменателей:

$4t^2 - 4 - 15t = 0$

$4t^2 - 15t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 4$. Выполним обратную замену:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.