Номер 6.23, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.23, страница 172.

6.23 a) $5^x + 2 \cdot 5^{-x} - 3 = 0;$

б) $7^x + 2 \cdot 7^{1-x} - 9 = 0;$

в) $2^x + 2^{-x} - 2 = 0;$

г) $2^x - 2^{-x} - 3 \frac{3}{4} = 0.$

а) $5^x + 2 \cdot 5^{-x} - 3 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^x + 2 \cdot \frac{1}{5^x} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем уравнение с новой переменной:

$t + \frac{2}{t} - 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$t^2 + 2 - 3t = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = 2$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену:

1) $5^x = t_1 = 1$

$5^x = 5^0$

$x = 0$

2) $5^x = t_2 = 2$

По определению логарифма, $x = \log_5 2$.

Ответ: $0; \log_5 2$.

б) $7^x + 2 \cdot 7^{1-x} - 9 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$7^x + 2 \cdot \frac{7^1}{7^x} - 9 = 0$

$7^x + \frac{14}{7^x} - 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

$t + \frac{14}{t} - 9 = 0$

Умножим обе части на $t$:

$t^2 + 14 - 9t = 0$

$t^2 - 9t + 14 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 9$

$t_1 \cdot t_2 = 14$

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 = 2 \implies x = \log_7 2$

2) $7^x = t_2 = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$

Ответ: $\log_7 2; 1$.

в) $2^x + 2^{-x} - 2 = 0$

Преобразуем уравнение:

$2^x + \frac{1}{2^x} - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t + \frac{1}{t} - 2 = 0$

Умножим на $t$:

$t^2 + 1 - 2t = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это формула квадрата разности:

$(t-1)^2 = 0$

$t - 1 = 0$

$t = 1$

Корень $t=1$ удовлетворяет условию $t > 0$. Выполним обратную замену:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

г) $2^x - 2^{-x} - 3\frac{3}{4} = 0$

Переведем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Преобразуем уравнение:

$2^x - \frac{1}{2^x} - \frac{15}{4} = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t - \frac{1}{t} - \frac{15}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на $4t$, чтобы избавиться от знаменателей:

$4t^2 - 4 - 15t = 0$

$4t^2 - 15t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 4$. Выполним обратную замену:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.