Номер 6.16, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.16, страница 172.

Решите уравнения (6.16—6.28):

6.16

а) $7^{3x-1} = 49;$

б) $5^{-x+2} = 0,2;$

в) $2^{-3x+1} = 16;$

г) $(0,5)^{x-6} = 4.$

а) $7^{3x-1} = 49$

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. В данном случае это основание 7.

Правая часть уравнения, число 49, может быть представлена как степень числа 7: $49 = 7^2$.

Теперь уравнение можно переписать в следующем виде:

$7^{3x-1} = 7^2$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x - 1 = 2$

Далее решаем полученное линейное уравнение относительно переменной x. Перенесем -1 в правую часть:

$3x = 2 + 1$

$3x = 3$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Ответ: $x=1$

б) $5^{-x+2} = 0,2$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, представим дробь $\frac{1}{5}$ как степень с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$5^{-x+2} = 5^{-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-x + 2 = -1$

Решаем полученное линейное уравнение. Перенесем 2 в правую часть:

$-x = -1 - 2$

$-x = -3$

Умножим обе части на -1, чтобы найти x:

$x = 3$

Ответ: $x=3$

в) $2^{-3x+1} = 16$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

Число 16 в правой части можно представить как степень числа 2. Зная, что $2^4 = 16$, получаем:

$2^{-3x+1} = 2^4$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-3x + 1 = 4$

Решаем это линейное уравнение. Перенесем 1 в правую часть:

$-3x = 4 - 1$

$-3x = 3$

Разделим обе части на -3:

$x = \frac{3}{-3}$

$x = -1$

Ответ: $x=-1$

г) $(0,5)^{x-6} = 4$

Для решения этого уравнения приведем обе части к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2.

Преобразуем основание в левой части уравнения: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Тогда левая часть примет вид: $(0,5)^{x-6} = (2^{-1})^{x-6}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{-1 \cdot (x-6)} = 2^{-x+6}$.

Преобразуем правую часть уравнения: $4 = 2^2$.

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{-x+6} = 2^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x + 6 = 2$

Решаем линейное уравнение. Перенесем 6 в правую часть:

$-x = 2 - 6$

$-x = -4$

Умножим обе части на -1:

$x = 4$

Ответ: $x=4$