Номер 6.11, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Простейшие логарифмические уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.11, страница 169.

6.11 a) $\log_2 (\log_2 x) = 1;$

б) $\log_3 (\log_2 x) = 1;$

в) $\log_3 (\log_4 x) = 0;$

г) $\log_5 (\log_2 x) = 0.$

а) $\log_{2}(\log_{2} x) = 1$

Для решения найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным.

1. Для внутреннего логарифма $\log_{2} x$, должно выполняться условие $x > 0$.

2. Для внешнего логарифма, его аргумент $\log_{2} x$ должен быть больше нуля: $\log_{2} x > 0$. Решая это неравенство, получаем $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

Объединяя условия $x > 0$ и $x > 1$, получаем окончательное ОДЗ: $x > 1$.

Теперь решаем уравнение, используя определение логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$).

Из $\log_{2}(\log_{2} x) = 1$ следует, что $\log_{2} x = 2^1$, то есть $\log_{2} x = 2$.

Применяя определение логарифма еще раз, получаем $x = 2^2$, то есть $x = 4$.

Полученное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 1$.

Ответ: $4$.

б) $\log_{3}(\log_{2} x) = 1$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными.

1. $x > 0$.

2. $\log_{2} x > 0$, что означает $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 1$.

Решаем уравнение по определению логарифма.

Из $\log_{3}(\log_{2} x) = 1$ следует, что $\log_{2} x = 3^1$, то есть $\log_{2} x = 3$.

Далее, из $\log_{2} x = 3$ получаем $x = 2^3$, то есть $x = 8$.

Значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 1$).

Ответ: $8$.

в) $\log_{3}(\log_{4} x) = 0$

Найдем ОДЗ.

1. $x > 0$.

2. $\log_{4} x > 0$, что означает $x > 4^0$, то есть $x > 1$.

ОДЗ: $x > 1$.

Решаем уравнение по определению логарифма.

Из $\log_{3}(\log_{4} x) = 0$ следует, что $\log_{4} x = 3^0$, то есть $\log_{4} x = 1$.

Далее, из $\log_{4} x = 1$ получаем $x = 4^1$, то есть $x = 4$.

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$).

Ответ: $4$.

г) $\log_{5}(\log_{2} x) = 0$

Найдем ОДЗ.

1. $x > 0$.

2. $\log_{2} x > 0$, что означает $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

ОДЗ: $x > 1$.

Решаем уравнение по определению логарифма.

Из $\log_{5}(\log_{2} x) = 0$ следует, что $\log_{2} x = 5^0$, то есть $\log_{2} x = 1$.

Далее, из $\log_{2} x = 1$ получаем $x = 2^1$, то есть $x = 2$.

Значение $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1$).

Ответ: $2$.