Номер 6.5, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.1. Простейшие показательные уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.5, страница 166.

6.5 а) $27^x = 3;$

б) $(0,04)^x = 0,2;$

в) $49^x = \frac{1}{7};$

г) $(\frac{1}{9})^x = 3;$

д) $(\frac{1}{8})^x = 16;$

е) $(\frac{1}{2})^x = -8;$

ж) $5^x = 0;$

з) $(\frac{1}{64})^x = 2;$

и) $(\frac{2}{3})^x = 1,5.$

а) Исходное уравнение: $27^x = 3$. Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Число 27 можно представить как $3^3$. Подставим это в уравнение: $(3^3)^x = 3^1$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, левая часть преобразуется в $3^{3x}$. Теперь уравнение имеет вид $3^{3x} = 3^1$. Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $3x = 1$. Разделив обе части на 3, находим $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) Исходное уравнение: $(0,04)^x = 0,2$. Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$, а $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Также можно заметить, что $(0,2)^2 = 0,04$. Подставим это в уравнение: $((0,2)^2)^x = 0,2^1$. Используя свойство степени, получаем $(0,2)^{2x} = 0,2^1$. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $2x = 1$. Отсюда $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

в) Исходное уравнение: $49^x = \frac{1}{7}$. Приведем обе части к основанию 7. Число 49 это $7^2$, а дробь $\frac{1}{7}$ это $7^{-1}$. Подставляем эти значения в уравнение: $(7^2)^x = 7^{-1}$. Упрощаем левую часть: $7^{2x} = 7^{-1}$. Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели: $2x = -1$. Находим $x$: $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

г) Исходное уравнение: $(\frac{1}{9})^x = 3$. Приведем обе части к основанию 3. Основание в левой части $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Подставляем в уравнение: $(3^{-2})^x = 3^1$. Упрощаем левую часть: $3^{-2x} = 3^1$. Приравниваем показатели степеней: $-2x = 1$. Решаем относительно $x$: $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

д) Исходное уравнение: $(\frac{1}{8})^x = 16$. Приведем обе части к основанию 2. Знаем, что $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, а $16 = 2^4$. Уравнение принимает вид $(2^{-3})^x = 2^4$. Упрощаем: $2^{-3x} = 2^4$. Приравниваем показатели: $-3x = 4$. Находим $x$: $x = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

е) Исходное уравнение: $(\frac{1}{2})^x = -8$. Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ (в данном случае $a = \frac{1}{2}$) определена для всех действительных $x$ и принимает только положительные значения ($y > 0$). В правой части уравнения стоит отрицательное число -8. Так как положительное число в любой степени не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений.

ж) Исходное уравнение: $5^x = 0$. Показательная функция $y = 5^x$ с основанием $5 > 0$ принимает строго положительные значения для любого действительного $x$. Она никогда не может быть равна нулю. Таким образом, у уравнения нет решений.
Ответ: нет решений.

з) Исходное уравнение: $(\frac{1}{64})^x = 2$. Приведем обе части к основанию 2. Основание в левой части $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$. Подставляем в уравнение: $(2^{-6})^x = 2^1$. Упрощаем левую часть: $2^{-6x} = 2^1$. Приравниваем показатели степеней: $-6x = 1$. Решаем относительно $x$: $x = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.

и) Исходное уравнение: $(\frac{2}{3})^x = 1,5$. Преобразуем десятичную дробь 1,5 в обыкновенную: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Уравнение примет вид $(\frac{2}{3})^x = \frac{3}{2}$. Заметим, что правая часть является обратной дробью для основания в левой части: $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$. Таким образом, уравнение можно записать как $(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-1}$. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x = -1$.
Ответ: $x = -1$.