Номер 6.7, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.1. Простейшие показательные уравнения - номер 6.7, страница 166.

Условие.

6.7 a) $3^x = 4$;

б) $2^x = 7$;

в) $5^x = \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано показательное уравнение $3^x = 4$.
Для нахождения неизвестной переменной $x$, которая находится в показателе степени, необходимо использовать определение логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такой показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.
Записывается это так: $x = \log_a b$ является решением уравнения $a^x = b$.
В данном уравнении основание $a = 3$, а число $b = 4$.
Следовательно, применяя определение логарифма, получаем решение:
$x = \log_3 4$.
Ответ: $x = \log_3 4$.

б) Дано показательное уравнение $2^x = 7$.
Решение этого уравнения находится аналогично предыдущему, с помощью определения логарифма.
В этом случае основание $a = 2$, а число $b = 7$.
Таким образом, показатель степени $x$ равен логарифму числа 7 по основанию 2:
$x = \log_2 7$.
Ответ: $x = \log_2 7$.

в) Дано показательное уравнение $5^x = \frac{1}{2}$.
Применяя определение логарифма, где основание $a = 5$ и число $b = \frac{1}{2}$, получаем:
$x = \log_5 \left(\frac{1}{2}\right)$.
Этот ответ можно упростить, используя свойства логарифмов. Воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_a(c^p) = p \cdot \log_a c$.
Представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде степени: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Теперь подставим это выражение в наш логарифм:
$x = \log_5(2^{-1})$.
Применяя свойство логарифма степени, вынесем показатель $-1$ за знак логарифма:
$x = -1 \cdot \log_5 2 = -\log_5 2$.
Оба ответа, $x = \log_5 \frac{1}{2}$ и $x = -\log_5 2$, являются верными, но второй вариант считается более упрощенным.
Ответ: $x = -\log_5 2$.