Номер 5.47, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.5*. Степенные функции. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.47, страница 163.

5.47° Какими свойствами обладает функция $y = x^{-n}$, $n \in N$, если:

а) $n$ — чётное число;

б) $n$ — нечётное число?

Рассмотрим свойства функции $y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (натуральное число), в зависимости от чётности $n$.

а) $n$ – чётное число

Если $n$ — чётное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Функция принимает вид $y = x^{-2k} = \frac{1}{x^{2k}}$.

Основные свойства этой функции:

• Область определения $D(y)$: так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, $x^{2k} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: поскольку показатель степени $2k$ является чётным числом, знаменатель $x^{2k}$ всегда положителен при любом $x \neq 0$. Следовательно, значение функции $y = \frac{1}{x^{2k}}$ также всегда будет положительным. При $x \to 0$, $y \to +\infty$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Значит, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Чётность: проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{-2k} = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Нули и экстремумы: функция не обращается в нуль, так как числитель равен 1. Локальных максимумов и минимумов (экстремумов) у функции нет.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$), так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2k}} = +\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось $Ox$), так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{2k}} = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна на всей своей области определения, т.е. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Если $n$ — чётное натуральное число, функция $y=x^{-n}$ является чётной, её область определения $D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y)=(0; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$). Нулей и экстремумов нет.

б) $n$ – нечётное число

Если $n$ — нечётное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$. Функция принимает вид $y = x^{-(2k-1)} = \frac{1}{x^{2k-1}}$.

Основные свойства этой функции:

• Область определения $D(y)$: так же, как и в предыдущем случае, знаменатель не должен быть равен нулю, $x^{2k-1} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: если $x > 0$, то $x^{2k-1} > 0$ и $y > 0$. Если $x < 0$, то $x^{2k-1} < 0$ и $y < 0$. Таким образом, функция принимает все действительные значения, кроме нуля. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Чётность: проверим значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^{-(2k-1)} = \frac{1}{(-x)^{2k-1}} = \frac{1}{-x^{2k-1}} = - \frac{1}{x^{2k-1}} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Нули и экстремумы: функция не обращается в нуль, так как числитель равен 1. Локальных экстремумов у функции нет.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$), так как $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2k-1}} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^{2k-1}} = -\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось $Ox$), так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{2k-1}} = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$.

Ответ: Если $n$ — нечётное натуральное число, функция $y=x^{-n}$ является нечётной, её область определения $D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$). Нулей и экстремумов нет.