Номер 5.40, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.4*. Десятичные логарифмы. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.40, страница 159.

5.40 а) $lg 7.28$;

б) $lg 39.8$;

в) $lg 756$;

г) $lg 0.32$;

д) $lg 0.0572$;

е) $lg 0.00137$.

Для нахождения десятичного логарифма ($\lg$) числа, мы используем его представление в стандартном виде. Любое положительное число $x$ можно записать как $x = a \cdot 10^k$, где $1 \le a < 10$, а $k$ — целое число. Это позволяет разложить логарифм на две части: характеристику и мантиссу.

Формула для вычисления: $\lg x = \lg(a \cdot 10^k) = \lg a + \lg 10^k = k + \lg a$.

• $k$ — это характеристика логарифма. Она показывает порядок числа. Если $x > 1$, то $k$ на единицу меньше числа цифр в целой части числа $x$. Если $0 < x < 1$, то $k$ — это отрицательное число, модуль которого на единицу больше числа нулей после запятой до первой значащей цифры.
• $\lg a$ — это мантисса логарифма. Это всегда неотрицательное число в диапазоне $[0, 1)$. Мантисса зависит только от набора цифр в числе $x$ и определяется с помощью таблиц логарифмов или калькулятора.

Вычислим значения для каждого из заданных чисел, округляя результат до четырех знаков после запятой.

а)

Для числа $7,28$ имеем: $7,28 = 7,28 \cdot 10^0$. Характеристика $k=0$. $\lg 7,28 = 0 + \lg 7,28$. Используя калькулятор, находим: $\lg 7,28 \approx 0,8621$.

Ответ: $\lg 7,28 \approx 0,8621$.

б)

Для числа $39,8$ представим его в стандартном виде: $39,8 = 3,98 \cdot 10^1$. Характеристика $k=1$. $\lg 39,8 = \lg(3,98 \cdot 10^1) = 1 + \lg 3,98$. Используя калькулятор, $\lg 3,98 \approx 0,5999$. Следовательно, $\lg 39,8 \approx 1 + 0,5999 = 1,5999$.

Ответ: $\lg 39,8 \approx 1,5999$.

в)

Для числа $756$ представим его в стандартном виде: $756 = 7,56 \cdot 10^2$. Характеристика $k=2$. $\lg 756 = \lg(7,56 \cdot 10^2) = 2 + \lg 7,56$. Используя калькулятор, $\lg 7,56 \approx 0,8785$. Следовательно, $\lg 756 \approx 2 + 0,8785 = 2,8785$.

Ответ: $\lg 756 \approx 2,8785$.

г)

Для числа $0,32$ представим его в стандартном виде: $0,32 = 3,2 \cdot 10^{-1}$. Характеристика $k=-1$. $\lg 0,32 = \lg(3,2 \cdot 10^{-1}) = -1 + \lg 3,2$. Используя калькулятор, $\lg 3,2 \approx 0,5051$. Следовательно, $\lg 0,32 \approx -1 + 0,5051 = -0,4949$.

Ответ: $\lg 0,32 \approx -0,4949$.

д)

Для числа $0,0572$ представим его в стандартном виде: $0,0572 = 5,72 \cdot 10^{-2}$. Характеристика $k=-2$. $\lg 0,0572 = \lg(5,72 \cdot 10^{-2}) = -2 + \lg 5,72$. Используя калькулятор, $\lg 5,72 \approx 0,7574$. Следовательно, $\lg 0,0572 \approx -2 + 0,7574 = -1,2426$.

Ответ: $\lg 0,0572 \approx -1,2426$.

е)

Для числа $0,00137$ представим его в стандартном виде: $0,00137 = 1,37 \cdot 10^{-3}$. Характеристика $k=-3$. $\lg 0,00137 = \lg(1,37 \cdot 10^{-3}) = -3 + \lg 1,37$. Используя калькулятор, $\lg 1,37 \approx 0,1367$. Следовательно, $\lg 0,00137 \approx -3 + 0,1367 = -2,8633$.

Ответ: $\lg 0,00137 \approx -2,8633$.