Номер 5.34, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.3. Логарифмическая функция - номер 5.34, страница 157.

Условие.

5.34 На каком числовом промежутке точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше (ниже) соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, на каком числовом промежутке точки графика одной функции расположены выше или ниже соответствующих точек графика другой функции, необходимо решить соответствующие неравенства. Областью определения для обеих функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_4 x$ является промежуток $x > 0$.

выше

Найдем промежуток, на котором точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше точек графика функции $y = \log_4 x$. Для этого решим неравенство:

$\log_2 x > \log_4 x$

Приведем логарифм в правой части к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$\log_2 x > \frac{\log_2 x}{2}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим:

$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 x > 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x > 0$

$\log_2 x > 0$

Представим 0 как логарифм с основанием 2: $0 = \log_2 1$.

$\log_2 x > \log_2 1$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Данное решение удовлетворяет области определения $x > 0$.

Ответ: точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$ на промежутке $(1; +\infty)$.

ниже

Найдем промежуток, на котором точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены ниже точек графика функции $y = \log_4 x$. Для этого решим неравенство:

$\log_2 x < \log_4 x$

Используя то же преобразование, что и в предыдущем пункте, получаем:

$\log_2 x < \frac{\log_2 x}{2}$

$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 x < 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x < 0$

$\log_2 x < 0$

$\log_2 x < \log_2 1$

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

С учетом области определения ($x > 0$), получаем окончательное решение для этого случая:

$0 < x < 1$

Ответ: точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены ниже соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$ на промежутке $(0; 1)$.