Номер 5.34, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Логарифмическая функция. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.34, страница 157.

5.34 На каком числовом промежутке точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше (ниже) соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$?

Чтобы определить, на каком числовом промежутке точки графика одной функции расположены выше или ниже соответствующих точек графика другой функции, необходимо решить соответствующие неравенства. Областью определения для обеих функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_4 x$ является промежуток $x > 0$.

выше

Найдем промежуток, на котором точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше точек графика функции $y = \log_4 x$. Для этого решим неравенство:

$\log_2 x > \log_4 x$

Приведем логарифм в правой части к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$\log_2 x > \frac{\log_2 x}{2}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим:

$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 x > 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x > 0$

$\log_2 x > 0$

Представим 0 как логарифм с основанием 2: $0 = \log_2 1$.

$\log_2 x > \log_2 1$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Данное решение удовлетворяет области определения $x > 0$.

Ответ: точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$ на промежутке $(1; +\infty)$.

ниже

Найдем промежуток, на котором точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены ниже точек графика функции $y = \log_4 x$. Для этого решим неравенство:

$\log_2 x < \log_4 x$

Используя то же преобразование, что и в предыдущем пункте, получаем:

$\log_2 x < \frac{\log_2 x}{2}$

$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 x < 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x < 0$

$\log_2 x < 0$

$\log_2 x < \log_2 1$

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

С учетом области определения ($x > 0$), получаем окончательное решение для этого случая:

$0 < x < 1$

Ответ: точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены ниже соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$ на промежутке $(0; 1)$.